Spettro e compattezza di un operatore integrale

puretone
CIao!
$H:= L^(2)(0,1)$

$k(x,y):= { ( y-1 \if 0<=x<=y<=1 ),( x-1 \if0<=y<=x<=1 ):} $
$(Tf)(x) := int_(0)^(1) k(x,y) f(y) dy$,
con $f\in H$ e $x\in [0,1]$

Voglio trovare lo spettro $\sigma(T)$ e dimostrare che $T$ è compatto ed autoaggiunto.

Per trovare lo spettro puntuale, dovrei cercare i valori di $lambda$ per cui
$\int_(x)^(1) (y-1)f(y) dy + (x-1) \int_(0)^(x)f(y)dy = lambda f(x)$
abbia soluzione non banale, ma al momento non sto avendo idee di come ottenerli.

Risposte
Giuly191
Se derivi due volte l'ultima equazione che hai scritto ti viene un'equazione differenziale del secondo ordine che dovresti sapere risolvere. Per fissare le costanti non ti dimenticare delle due equazioni che hai derivato.
Se non ho sbagliato lo spettro dovrebbe essere
$$
\lambda = -\frac{\pi}{2} - k \pi
\qquad
k = 0,1,2,..
$$

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.