Spettro di un operatore lineare

[Maxandri1]

Ciao,
ho un po' di confusione sull'argomento degli operatori lineari.
Come faccio a dimostrare che un operatore T non è biettivo e quindi definirne lo spettro?
Come dimostro poi che lo spettro è continuo o residuo?
Conosco le definizioni ma poi nella pratica non so che pesci pigliare.

Per esempio. Sia T:\[L_{2}[0,1]->L_{2}[0,1]\int_{0}^{1}\left |t-s \right |f(s)ds\]
devo discuterne lo spettro.

[Raptorista1]

"Maxandri":Ciao,
Come faccio a dimostrare che un operatore T non è biettivo e quindi definirne lo spettro?
Come dimostro poi che lo spettro è continuo o residuo?

[xdom="Raptorista"]Innanzitutto, mettere il messaggio nella sezione giusta può aiutarti con entrambi i problemi. Sposto.[/xdom]

[Maxandri1]

ops, sposti tu, o riscrivo?

[Raptorista1]

Ci siamo già spostati nella sezione giusta.

[coffee2]

Nella pratica, un modo diretto per vedere che un operatore non è suriettivo è trovare qualche condizione soddisfatta dalle sue immagini. In questo caso, se $f\in L^2(0,1)$ e $t,t'\in(0,1)$ allora vale \[ \left|\int_0^1|t-s|f(s)ds - \int_0^1|t'-s|f(s)ds\right| \leq \int_0^1\big||t-s|-|t'-s|\big|\cdot|f(s)|ds \leq \int_0^1|t-t'||f(s)|ds \] Siccome $||f||_{L^1(0,1)}\leq||f||_{L^2(0,1)}$ per Cauchy-Schwarz, segue \[ |(Tf)(t)-(Tf)(t')|\leq ||f||_{L^2(0,1)}|t-t'| \] Le funzioni lipschitziane formano un sottospazio proprio di $L^2(0,1)$ quindi $T$ non è suriettivo.

Per quanto riguarda le questioni spettrali, non so quanta familiarità hai con l'analisi funzionale ma se conosci il teorema di Ascoli-Arzelà puoi combinarlo con la disuguaglianza precedente per dimostrare che $T:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ è compatto (prova! ) e da qui un altro teorema standard sullo spettro degli operatori compatti ti garantisce alcune prime proprietà generali di $\sigma(T)$.