Spettro di un operatore
Ciao!
Sia T un operatore lineare continuo da uno spazio di Banach E in sè. Sto cercando di capire come si dimostra che lo spettro di T è compatto. Per chi ha il Brezis (Analisi funzionale), sono a pag. 152. Il Brezis prova che lo spettro è chiuso ed è contenuto nel compatto [-||T||, ||T||] (con ciò, è compatto). Per provare entrambi i fatti utilizza il teorema di punto fisso di Banach (in uno spazio completo, ogni contrazione ha un punto fisso, che è unico), non ho capito però come fa a utilizzarlo. Ad esempio dice: sia λ t.c. | λ|>||T||, e proviamo che T- λI è bijettiva, con ciò λ non è nello spettro; proviamo cioè che, fissato f in E, Tu - λu=f , cioè u=(Tu-f)/ λ, ha un'unica soluzione u. Ok, T/ λ è una contrazione perché la sua norma è <1 (per ipotesi), quindi esiste unico un punto fisso u: (T/ λ)u=u. Ma da ciò a concludere che u=(Tu-f)/ λ ammette una e una sola soluzione?
grazie!
Elia
Sia T un operatore lineare continuo da uno spazio di Banach E in sè. Sto cercando di capire come si dimostra che lo spettro di T è compatto. Per chi ha il Brezis (Analisi funzionale), sono a pag. 152. Il Brezis prova che lo spettro è chiuso ed è contenuto nel compatto [-||T||, ||T||] (con ciò, è compatto). Per provare entrambi i fatti utilizza il teorema di punto fisso di Banach (in uno spazio completo, ogni contrazione ha un punto fisso, che è unico), non ho capito però come fa a utilizzarlo. Ad esempio dice: sia λ t.c. | λ|>||T||, e proviamo che T- λI è bijettiva, con ciò λ non è nello spettro; proviamo cioè che, fissato f in E, Tu - λu=f , cioè u=(Tu-f)/ λ, ha un'unica soluzione u. Ok, T/ λ è una contrazione perché la sua norma è <1 (per ipotesi), quindi esiste unico un punto fisso u: (T/ λ)u=u. Ma da ciò a concludere che u=(Tu-f)/ λ ammette una e una sola soluzione?
grazie!
Elia
Risposte
Chiama [tex]$Su:=\tfrac{1}{\lambda}(Tu-f)$[/tex]; [tex]$S$[/tex] applica [tex]$E$[/tex] in sé e si ha:
[tex]$\lVert Su-Sv\rVert =\tfrac{1}{|\lambda|} \lVert T(u-v)\rVert \leq \tfrac{\lVert T\rVert}{|\lambda|}\ \lVert u-v\rVert <\lVert u-v\rVert$[/tex],
ergo [tex]$S$[/tex] è una contrazione su [tex]$E$[/tex]; conseguentemente esiste un unico [tex]$u\in E$[/tex] tale che [tex]$u=Su$[/tex], ossia tale che [tex]$Tu-\lambda u=f$[/tex].
***
Ma l'esistenza di un'unica soluzione si può provare anche in altri modi...
Ad esempio considera l'operatore [tex]$\tfrac{1}{\lambda} T$[/tex]: esso ha norma minore strettamente di [tex]$1$[/tex] (vista la scelta di [tex]$\lambda$[/tex]) e ciò assicura che la serie di Neumann [tex]\sum \tfrac{1}{\lambda^n}\ T^{(n)}[/tex]* converge all'inverso dell'operatore limitato [tex]$I-\tfrac{1}{\lambda} T$[/tex], ossia si ha:
[tex]$(I-\tfrac{1}{\lambda} T)^{-1} =\sum_{n=0}^{+\infty} \tfrac{1}{\lambda^n}\ T^{(n)}$[/tex];
dato che si ha [tex]$Tu-\lambda u=f$[/tex] se e solo se:
[tex]$(I-\tfrac{1}{\lambda}T)u=-\tfrac{1}{\lambda} f$[/tex]
e che l'operatore al primo membro è invertibile, l'equazione di partenza è dotata dell'unica soluzione:
[tex]$u=(I-\tfrac{1}{\lambda} T)^{-1} (-\tfrac{1}{\lambda} f) =-\sum_{n=0}^{+\infty} \tfrac{1}{\lambda^{n+1}}\ T^{(n)}f$[/tex].
__________
*Qui [tex]$T^{(n)}$[/tex] è l'iterata [tex]$n$[/tex]-esima di [tex]$T$[/tex], cioè l'operatore che si ottiene componendo [tex]$n$[/tex] volte [tex]$T$[/tex] con se stesso; inoltre [tex]$T^{(0)}:=I$[/tex] per definizione
[tex]$\lVert Su-Sv\rVert =\tfrac{1}{|\lambda|} \lVert T(u-v)\rVert \leq \tfrac{\lVert T\rVert}{|\lambda|}\ \lVert u-v\rVert <\lVert u-v\rVert$[/tex],
ergo [tex]$S$[/tex] è una contrazione su [tex]$E$[/tex]; conseguentemente esiste un unico [tex]$u\in E$[/tex] tale che [tex]$u=Su$[/tex], ossia tale che [tex]$Tu-\lambda u=f$[/tex].
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Ma l'esistenza di un'unica soluzione si può provare anche in altri modi...
Ad esempio considera l'operatore [tex]$\tfrac{1}{\lambda} T$[/tex]: esso ha norma minore strettamente di [tex]$1$[/tex] (vista la scelta di [tex]$\lambda$[/tex]) e ciò assicura che la serie di Neumann [tex]\sum \tfrac{1}{\lambda^n}\ T^{(n)}[/tex]* converge all'inverso dell'operatore limitato [tex]$I-\tfrac{1}{\lambda} T$[/tex], ossia si ha:
[tex]$(I-\tfrac{1}{\lambda} T)^{-1} =\sum_{n=0}^{+\infty} \tfrac{1}{\lambda^n}\ T^{(n)}$[/tex];
dato che si ha [tex]$Tu-\lambda u=f$[/tex] se e solo se:
[tex]$(I-\tfrac{1}{\lambda}T)u=-\tfrac{1}{\lambda} f$[/tex]
e che l'operatore al primo membro è invertibile, l'equazione di partenza è dotata dell'unica soluzione:
[tex]$u=(I-\tfrac{1}{\lambda} T)^{-1} (-\tfrac{1}{\lambda} f) =-\sum_{n=0}^{+\infty} \tfrac{1}{\lambda^{n+1}}\ T^{(n)}f$[/tex].
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*Qui [tex]$T^{(n)}$[/tex] è l'iterata [tex]$n$[/tex]-esima di [tex]$T$[/tex], cioè l'operatore che si ottiene componendo [tex]$n$[/tex] volte [tex]$T$[/tex] con se stesso; inoltre [tex]$T^{(0)}:=I$[/tex] per definizione
Cioè, se capisco bene stai dicendo: se ha un unico punto fisso ha nucleo banale quindi è iniettivo e quindi, per Fredholm, è anche suriettivo. D'accordo, però Fredholm vale solo per gli operatori compatti mentre qua l'ipotesi è più debole: T è un generico operatore lineare continuo su E
@Rattlesnake89: Ho letto bene ed editato il post precedente. Scusa per l'inconveniente. 
Giusto giusto! non avevo preso la funzione giusta per applicare il teorema di punto fisso. Anche l'altra dimostrazione fatta "con le mani" 
è molto carina!!
Grazie mille
E.
è molto carina!!Grazie mille
E.
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