Spettro approssimato e spettro continuo di operatori in spazi di Hilbert
Salve a tutti, ho le idee molto poco chiare su questo argomento...
Innanzitutto, ho sentito a lezione che lo spettro di un operatore A si divide in:
Spettro puntuale: \(\sigma_P(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \nexists \, (A-\lambda)^{-1}\} = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \exists \, \phi \in D_A\setminus\{0\}\: \colon\: A \phi = \lambda \phi \}\)
Spettro continuo: \(\sigma_C(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \exists \, (A-\lambda)^{-1}, \: \overline{Ran(A-\lambda)}=\mathcal{H}, \text{ ma non limitato} \} = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \lambda \notin \sigma_P(A),\: \exists \, \{\phi_n\}\subset D_A \: \colon \: \|\phi_n\|=1, \: \|(A-\lambda)\phi_n\| \to 0 \}\)
Spettro residuo: \(\sigma_R(A) = \{\lambda \in\mathbb{C} \: \colon \: \exists \, (A-\lambda)^{-1}, \: \overline{Ran(A-\lambda)}\neq \mathcal{H} \}\)
Ora, ho letto in giro su internet e libri che a volte la seconda definizione di spettro continuo viene chiamata "spettro approssimato", ma non riesco a trovare, nè a dimostrare, l'equivalenza, e in particolare riesco a capire che il primo insieme è contenuto nel secondo ma non il viceversa.
Inoltre, il prof ha sempre detto che quando $n \to \infty$, $\phi_n$ tende a una "distribuzione" in \(\mathcal{H}\), cosa che non sono riuscito a formalizzare più di così, ma che sostanzialmente, negli esercizi, lui usa dicendo che l'equazione $A \phi = \lambda \phi$ è risolta da un "vettore" di norma infinita che può essere moltiplicato scalarmente per un vettore con le componenti definitivamente nulle, e poi esibiva la successione $\phi_n$ che tendeva, componente per componente, a questo "vettore". Tutto ciò è molto bello ma non sono riuscito a trovare niente di simile nei libri né in giro su internet, e dato che ovviamente di "matematico" c'è poco e niente, vorrei formalizzarlo e eventualmente spiegarmelo, ma non ci riesco proprio... Potreste darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo
Innanzitutto, ho sentito a lezione che lo spettro di un operatore A si divide in:
Spettro puntuale: \(\sigma_P(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \nexists \, (A-\lambda)^{-1}\} = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \exists \, \phi \in D_A\setminus\{0\}\: \colon\: A \phi = \lambda \phi \}\)
Spettro continuo: \(\sigma_C(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \exists \, (A-\lambda)^{-1}, \: \overline{Ran(A-\lambda)}=\mathcal{H}, \text{ ma non limitato} \} = \{\lambda \in \mathbb{C} \: \colon \: \lambda \notin \sigma_P(A),\: \exists \, \{\phi_n\}\subset D_A \: \colon \: \|\phi_n\|=1, \: \|(A-\lambda)\phi_n\| \to 0 \}\)
Spettro residuo: \(\sigma_R(A) = \{\lambda \in\mathbb{C} \: \colon \: \exists \, (A-\lambda)^{-1}, \: \overline{Ran(A-\lambda)}\neq \mathcal{H} \}\)
Ora, ho letto in giro su internet e libri che a volte la seconda definizione di spettro continuo viene chiamata "spettro approssimato", ma non riesco a trovare, nè a dimostrare, l'equivalenza, e in particolare riesco a capire che il primo insieme è contenuto nel secondo ma non il viceversa.
Inoltre, il prof ha sempre detto che quando $n \to \infty$, $\phi_n$ tende a una "distribuzione" in \(\mathcal{H}\), cosa che non sono riuscito a formalizzare più di così, ma che sostanzialmente, negli esercizi, lui usa dicendo che l'equazione $A \phi = \lambda \phi$ è risolta da un "vettore" di norma infinita che può essere moltiplicato scalarmente per un vettore con le componenti definitivamente nulle, e poi esibiva la successione $\phi_n$ che tendeva, componente per componente, a questo "vettore". Tutto ciò è molto bello ma non sono riuscito a trovare niente di simile nei libri né in giro su internet, e dato che ovviamente di "matematico" c'è poco e niente, vorrei formalizzarlo e eventualmente spiegarmelo, ma non ci riesco proprio... Potreste darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Non è proprio immediato da formalizzare, ci vuole il concetto di "spazio di Hilbert attrezzato" (rigged Hilbert space). Tutta una seccatura per poi scoprire che, sostanzialmente, quello che si è fatto è solo ammettere che \(e^{ixp}\) e \(\delta(x-x_0)\) siano autofunzioni del momento e della posizione rispettivamente. Un libro di fisica che parla di queste cose è il Ballentine, "Modern Quantum Mechanics" (o qualcosa del genere). I libri di matematica che parlano di queste cose lasciali perdere, se ne escono con definizioni a tonnellate e non si capisce niente.
Eh, il problema è proprio quello... di libri di Meccanica Quantistica che parlano di queste cose ce ne sono a bizzeffe, e capisco perfettamente il loro approccio "intuitivo", ma voglio il rigore matematico per capire bene a fondo la questione... Non per altro, ma semplicemente perché se prendo l'operatore di shift sinistro e trovo che il vettore $(1, 1, 1, ...)$ risolve l'equazione agli autovalori con $\lambda = 1$, devo poter chiamare in causa un teorema per dire che $1 \in \sigma_C$, non le cose intuitive di Meccanica Quantistica :/
Mi andrebbe bene anche non una risposta esauriente ai miei dubbi, ma semplicemente un libro che parla esattamente di questo. Purtroppo ciò che ho trovato in rete e le referenze dei libri di MQ sono libracci interi con una marea di teoremi incomprensibili che parlano ognuno di un aspetto marginale della questione...
Mi andrebbe bene anche non una risposta esauriente ai miei dubbi, ma semplicemente un libro che parla esattamente di questo. Purtroppo ciò che ho trovato in rete e le referenze dei libri di MQ sono libracci interi con una marea di teoremi incomprensibili che parlano ognuno di un aspetto marginale della questione...
Nessuno ha idea nemmeno di una referenza bibliografica?
Hai dato un'occhiata al libro di Ballentine?
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