Spettri di Operatori Lineari tra spazi di Hilbert

[Fox4]

Dunque

Sia $T:H->H$ un operatore lineare limitato su $H$ spazio di Hilbert

$\forall \lambda\in\mathbb{C}$ si definisce l'applicazione $T_\lambda = T-\lambda*Id$

Possono accadere i seguenti fatti:
-$T_\lambda$ è biettiva allora si dice che $\lambda\in\rho(T)$ detto risolvente di $T$
-$T_\lambda$ non è biettiva allora si dice che $\lambda\in\sigma(T)$ detto spettro di $T$

E questi due insiemi formano ovviamente una partizione di $\mathbb{C}$

Ora per analogia con quello che si sa degli autovalori e autovettori si definisce lo spettro puntuale di $T$, $\sigma_p(T)$ come l'insieme dei $\lambda\in\mathbb{C}$ tali che $T_\lambda$ non è iniettivo.
E questo lo capisco, perchè eravamo partiti dal concetto di autovettore cioè un $v\ne0$ tale che $T*v=\lambda*v$
e dato che una applicazione lineare $T$ è iniettiva $<=>$ ($T(x)=0 \ <=> \ x=0$)
stavamo affermando che $T_\lambda$ non era iniettiva.

Poi però la suddivisione continua
-$\sigma_c$ spettro continuo, è l'insieme dei $\lambda$ tali che $T_\lambda$ è iniettiva ma non suriettiva e tale che l'immagine di $T_\lambda$ è densa in $H$
-$\sigma_r$ spettro residuo, è l'insieme dei $\lambda$ tali che $T_\lambda$ è iniettiva ma non suriettiva e tale che l'immagine di $T_\lambda$ NON è densa in $H$

La mia domanda è:
Mentre capisco il senso della definizione di risolvente e spettro puntuale,

perchè si ha necessità di definire lo spettro continuo? Questi altri 2 spettri a che servono?

[gugo82]

La teoria degli autovalori è la risposta alla domanda: "Preso un operatore lineare continuo $T:H\to H$ e presi $lambda \in RR$ e $v\in HH$, per quali elementi $lambda ,v$ è possibile risolvere l'equazione (*) $Tu-lambdau=v$ in $H$"?

Studiando la questione (molti problemi di PDE sono riconducibili ad un'equazione di tipo (*)), è venuto neturale chiamare "risolvente" l'insieme dei $lambda$ per cui l'equazione (*) è risolubile univocamente per ogni termine noto $v\in H$; i valori per cui ciò non è possibile sono stati raggruppati in un altro insieme, detto "spettro".

Si è poi scoperto che gli elementi dello spettro non sono tutti uguali: infatti, mentre negli spazi finito dimensionali sussiste l'equivalenza $"operatore iniettivo" <=> "operatore suriettivo"$ (tipico risultato di Algebra Lineare), di modo che se $lambda$ è un autovalore di $T$ allora l'equazione $Tu-lambdau=v$ non è risolubile per ogni $v$, ciò non è più vero in spazi infinito dimensionali ove esistono operatori iniettivi e non suriettivi ed operatori suriettivi e non iniettivi.
Ad esempio, preso $l^2$ (che ci piace assai! ), gli operatori di shift a sinistra e shift a destra, cioè:

$Sx=S(x_1,x_2,\ldots ,x_n,\ldots):=(x_2,x_3,\ldots, x_(n+1),\ldots)$ ($Sx$ si ottiene da $x$ sopprimendo il primo termine e spostando gli altri verso sinistra)

$Dx=D(x_1,x_2,\ldots ,x_n,\ldots):=(0,x_1,\ldots ,x_(n-1),\ldots)$ ($Dx$ si ottiene spostando i termini di $x$ verso destra ed aggiungendo uno zero al posto iniziale)

sono, rispettivamente, suriettivo ma non inettivo ed iniettivo ma non suriettivo.
Pertanto bisogna ulteriormente dividere gli elementi dello spettro a seconda della possibilità di risolvere esattamente od approssimativamente l'equazione $Tu-lambdau=v$.

- Nello "spettro puntuale" vengono allora messi gli "autovalori", ossia quei valori di $lambda$ per i quali $T-lambda"Id"$ non è iniettivo: questi valori hanno la stessa importanza in dimensione infinita come le loro controparti in dimensione finita; nella teoria degli operatori compatti se ne fa un gran uso, dato che "autovalori" ed "autovettori" intervengono in un Teorema di decomposizione spettrale che è del tutto equivalente a quello che si studia in Algebra Lineare (insomma, gli operatori compatti sono più o meno uguali agli operatori lineari negli spazi finito dimensionali; per questo la loro teoria è abbastanza facile).

- Nello "spettro continuo" ci si mettono i valori di $lambda$ per i quali $T-lambda"Id"$ è iniettivo e, pur non essendo suriettivo (altrimenti $lambda$ starebbe nel risolvente!), ha immagine densa in $H$; la densità dell'immagine di $T-lambda"Id"$ assicura che per ogni $v \in H$ o è possibile determinare una soluzione dell'equazione $Tu-lambdau=v$ oppure l'equazione non è risolubile pur possedendo essa delle "quasi soluzioni", ossia esiste almeno una successione $(u^n)\subseteq H$ tale che $Tu^n-lambdau^n \to v$ (in altre parole, per ogni $epsilon >0$ è possibile trovare $u^n\in H$ in modo che $||Tu^n-lambdau^n-v||_H
- Nello "spettro residuo" ci sono quei valori di $lambda$ per cui $T-lambda"Id"$ è iniettiva ma non ha immagine densa in $H$. Evidentemente se $lambda$ è nello spettro residuo allora l'equazione $Tu-lambdau=v$ non è risolubile per ogni $v\in H$, né è sempre possibile determinare una successione di "quasi soluzioni".

Ad esempio, lo shift a destra $D$ ha $0\in sigma_r(D)$ e lo spettro è ridotto solo a $\{ 0\}$ (puro spettro residuo).
Per costruire un'operatore con spettro continuo basta fissare $(a_n)$ positiva ed infinitesima e porre:

$Tx=T(x_n):=(a_nx_n)$ per $x=(x_n) \in l^2$;

l'operatore $T$ ha tutti gli $a_n \in sigma_p(T)$ epperò risulta $0\in sigma_c(T)$ (se non ho sbagliato i conti).

Spero di esserti stato d'aiuto... È da un po' che non bazzico l'Analisi Funzionale.

[Fox4]

"Gugo82":
Ad esempio, preso $l^2$ (che ci piace assai! )

Oddio!
ma è una persecuzione!

"Gugo82":
Spero di esserti stato d'aiuto...

Sei stato chiarissimo, adesso tutto ha molto più senso!

Infatti devo proprio studiare gli spazi di sobolev per le PDE, adesso che sto iniziando a vedere in lontananza la fine di questa cosa mi sento rincuorato!

Grazie, ciao!

[Luca.Lussardi]

La risposta di gugo82 è sì impeccabile formalmente ma non ha risposto del tutto alla domanda.... si chiedeva anche a che serve considerare punti che stanno nello spettro ma non sono autovalori.

La teoria spettrale trova una delle sue principali applicazioni nella meccanica quantistica: in tale contesto ad ogni grandezza fisica corrisponde un operatore lineare autoaggiunto, e lo spettro di un operatore fornisce i possibili valori della grandezza fisica associata
all’operatore. Fa quindi molta differenza (ed è molto più utile) sapere se una grandezza fisica assume valori discreti (quantizzata), o valori che formano un continuo.

[Fox4]

Giusto...
Per quanto riguarda la MQ:
L'importanza dello spettro discreto mi è chiara,
che importanza invece rivestono gli autovalori continui?

Non sarà il fatto di particella libera e particella intrappolata? (detta male, male)
Ah quindi è colpa dell' operatore lineare se l'energia è quantizzata o no?

[Luca.Lussardi]

Diciamo che più che colpa dell'operatore è l'operatore stesso che viene scelto in modo tale da rendere l'energia quantizzata, se è il caso di renderla tale. L'importanza poi di avere uno spettro continuo sta proprio nella possibiità di poter avere una grandezza fisica che può cambiare con continuità, invece che poter assumere solo valori discreti.

Comunque è solo una delle applicazioni della teoria spettrale, in analisi funzionale stessa la teoria spettrale ha di per sé la sua importanza per chi si occupa di operatori e problemi agli autovalori.

[Fox4]

Questo operatore sarebbe la PDE? E non era vero il fatto che tutti gli operatori usati nella meccanica quantistica erano Autoaggiunti? Perciò come possono avere spettro continuo?
Forse sto facendo confusione o non ho capito appieno il tuo discorso, ho seguito un corso di MQ ma ancora non l'ho ben studiato

"Luca.Lussardi":Diciamo che più che colpa dell'operatore è l'operatore stesso che viene scelto in modo tale da rendere l'energia quantizzata, se è il caso di renderla tale.

Mmmh... che intendi con "viene scelto"? Se l'operatore è quello non ci si può far niente vuol dire che la natura ha quella regola, no?

[anonymous_af8479]

Mi intrometto per dire la mia ... perchè la questione è troppo interessante ...

Fra analisi funzionale e MQ vi è, purtroppo, una confusione dovuta, direi, dal fatto che matematici e fisici si parlano troppo poco ...

1) analisi funzionale

la definizione di spettro puntuale e continuo è ben chiara (è quella data sopra).

2) MQ

gli spettri sono sempre puntuali !

Si tratta di risolvere l'equazione agli autovalori :

$L x = \lambda x$ .

Si dice poi che lo spettro è discreto se l'insieme degli autovalori è discreto (cardinalità aleph 0). Si dice che lo spettro è continuo se l'insieme degli atovalori è continuo (cardinalità aleph 1).

Esempio di operatore con spettro continuo è l'operatore quantità di moto.

Esempio di operatore con spettro discreto è l'operatore energia per l'oscillatore armonico.

Così l'ho capita io ...

[anonymous_af8479]

ps.

la questione, però, può assumere connotati più profondi (che lascio a voi matematici dirimere ...).

Per esempio, l'operatore quantità di moto $-i k d / {dx}$ (in una dimensione e ponendo k per h-tagliato, perchè non ricordo come si scrive e perchè poi è ininfluente).

Gli autovettori sono funzioni non a quadrato sommabile (a parte l'autovettore nullo) !

Allora i due concetti di spettro continuo in analisi funzionale e in MQ qui si salderebbero ...

In MQ, in effetti, si una uno spazio di Hilbert un po' allargato ...

[Fox4]

Benvenuto nella discussione!

"anonymous_af8479":
2) MQ

gli spettri sono sempre puntuali !

Si tratta di risolvere l'equazione agli autovalori :

$L x = \lambda x$ .

E' sempre discreto perchè gli operatori della MQ sono compatti e autoaggiunti ed esiste quindi il teorema di Hilbert-Schmidt (mi pare) che afferma che lo spettro coincide con i soli autovalori.


Ora, come giustamente noti l'operatore quantità di moto ha autovalori continui in certe condizioni
e direi che per qualche motivo, in questi casi, cade la compattezza, perchè l'autoaggiuntezza non può cadere (ci aspettiamo $\lambda$ reali).
Non saprei entrare più nello specifico perchè ancora non ho molte basi su cui parlare... spero di non aver travisato la situazione

P.S. eh si cè una qualche sorta di ancestrale rivalità tra matematici e fisici (e ingegneri); è un pò come nel calcio in cui città vicine in genere si odiano da generazioni e nessuno sa il perchè

[anonymous_af8479]

La confusione fra le definizioni di spettro continuo in matematica ed in MQ, secondo me, deriva dal fatto che, in MQ, spesso si deve uscire da $L^2$.

Questo lo si deve fare per salvare il principio di indeterminazione di Heinsenberg ed il dualismo onda particella di de Broglie, che sono principi di natura.

Il caso emblematico è proprio l'operatore quantità di moto.

Se interessa, posto la trattazione completa (secondo la mia interpretazione) che, però, ha necessariamente forti contenuti di fisica (col rsischio dell'OT).

ps. il mio sogno è che ogni fisico abbia una base seria di matematica ed ogni matematico, una base seria di fisica. Almeno per le questioni fondamentali, penso che questo sia possibile e doveroso. In fondo, il nostro scopo comune è quello di capire e descrivere l'universo ...

[Fox4]

non capisco quello che vuoi dire... Ma ripeto sono solo all'inizio nel mio studio della MQ, volevo prima avere delle buone (almeno decenti) basi matematiche

"anonymous_af8479":Se interessa, posto la trattazione completa (secondo la mia interpretazione) che, però, ha necessariamente forti contenuti di fisica (col rsischio dell'OT).

a me interessa
giusto, apro un nuovo topic per discutere dello spazio della MQ nella sezione di fisica per non finire troppo fuori strada...

[anonymous_af8479]

Il topic continua qui :

http://www.matematicamente.it/forum/spazio-di-hilbert-della-mq-e-spettri-di-operatori-t45824.html

[Fox4]

Bene, una volta separata la questione fisica, volevo tornare per l'ultima volta (spero) sui dubbi matematici:

In particolare ho riflettuto su:

"Luca.Lussardi":L'importanza poi di avere uno spettro continuo sta proprio nella possibiità di poter avere una grandezza fisica che può cambiare con continuità, invece che poter assumere solo valori discreti.

se $\lambda\in \sigma_c(T)$ significa che $T_\lambda$ è iniettiva ma non suriettiva con $Im(T_\lambda)$ densa in $H$

come fai a questo punto a dire che c'è una grandezza fisica (autovalore) che varia con continuità?

Dal mio punto di vista, se $\exists v\in H\ , \ v\ne 0$ tale che $T*v=\lambda*v$ ne segue che $T_\lambda*v=0$ con $v\ne0$ perciò $T_\lambda$ non è iniettiva, e quindi concluderei che tutti gli autovalori stanno nello spettro puntuale...

[Fox4]

Promemoria: rispondere a Fox!!!!!

[Fox4]

Dunque in effetti, riprendendo l'ottima spiegazione

"Gugo82":
- Nello "spettro continuo" ci si mettono i valori di $lambda$ per i quali $T-lambda"Id"$ è iniettivo e, pur non essendo suriettivo (altrimenti $lambda$ starebbe nel risolvente!), ha immagine densa in $H$; la densità dell'immagine di $T-lambda"Id"$ assicura che per ogni $v \in H$ o è possibile determinare una soluzione dell'equazione $Tu-lambdau=v$ oppure l'equazione non è risolubile pur possedendo essa delle "quasi soluzioni", ossia esiste almeno una successione $(u^n)\subseteq H$ tale che $Tu^n-lambdau^n \to v$ (in altre parole, per ogni $epsilon >0$ è possibile trovare $u^n\in H$ in modo che $||Tu^n-lambdau^n-v||_H

e avendo un pò di tempo per pensarci, posso dire:

se $\lambda\in\sigma_c(T)$ allora $\forall v\in H$ e $\forall \epsilon>0 \ \ \exists u\in H \ \ tc \ \ ||(T-\lambda I)*u-v||<\epsilon$

ma in effetti se vale per ogni $v$ vale anche per $v=0$ !!!

allora $\forall \epsilon>0 \ \ \exists u\in H \ \ tc \ \ ||(T-\lambda I)*u||<\epsilon$
quindi esiste una specie di autovettore approssimato? come me la interpreto?

[antani2]

@anonymous_af8479: Ma infatti non si allarga l'insieme delle soluzioni dell'eq di Schrodingher allo spazio delle distribuzioni temperate?Domando dubbioso perchè devo ancora iniziarle le lezioni del quarto anno di fisica, ma mi pare (udendo voci di corridoio) che fosse una base per questo spazio o qualcosa del genere...O forse le delta di dirac..boh..

@Gugol: Non ho capito una cosa, detto S l'operatore di shift a sinistra,$S-lambdaI$ non è iniettivo per ogni $lambda in mathbb{C}$ con autovettore qualsiasi vettore del tipo $lambda^n,lambda^(n+1),lambda^(n+2),...$ con $|lambda|<1$: , cosicchè il vettore sia in $l^2$ poichè la sua norma è una serie geometrica;infatti facendogli agire sopra lo shift sinistro ottieni $lambda^(n+1),lambda^(n+2),lambda^(n+3),...$che risulta autovettore di S con autovalore $lambda$...Quindi essendo lo spettro puntuale o discreto composto da tutti i $lambda t.c. |lambda|<1$ S risulterebbe avere uno spettro che secondo la definizione si chiama spettro discreto ma che è continuo??