Spazio vettoriale lineare e base canonica
Volevo un chiarimento sulla base canonica di uno spazio vettoriale lineare.
E' corretto pensare alla base canonica proprio come il riferimento "di base" del nostro spazio vettoriale, con relativa unità di misura, cioè agli assi cartesiani stessi, o questi ultimi sono sempre e comunque il riferimento generale?
Cerco di spiegarmi meglio. In [tex]\mathbb{R}^2[/tex] la base canonica è definita dai vettori [tex]e^1=(1,0), e^2=(0,1)[/tex] che, guarda caso possiamo proprio usare come assi cartesiani, dove [tex]e^1[/tex] rappresenta l'asse [tex]x[/tex] e [tex]e^2[/tex] rappresenta l'asse [tex]y[/tex], e la coordinata [tex](1,0)[/tex] rappresentano il punto dell'unità di misura dell'asse [tex]x[/tex], e la coordinata [tex](0,1)[/tex] rappresenta il punto dell'unità di misura dell'asse [tex]y[/tex].
Però nulla mi vieta di avere una base canonica "diversa", cioè con coordinate diverse da [tex](1,0)[/tex] e [tex](0,1)[/tex]; a questo punto ha sempre senso dire che questa base canonica diversa è il mio sistema cartesiano di riferimento del mio spazio vettoriale, oppure il sistema cartesiano rimane sempre quello classico e la base canonica ci "si appoggia" sopra?
Scusate le varie imprecisioni e soprattutto se non sono stato chiaro, nel caso provo a riformulare il mio dubbio.
E' corretto pensare alla base canonica proprio come il riferimento "di base" del nostro spazio vettoriale, con relativa unità di misura, cioè agli assi cartesiani stessi, o questi ultimi sono sempre e comunque il riferimento generale?
Cerco di spiegarmi meglio. In [tex]\mathbb{R}^2[/tex] la base canonica è definita dai vettori [tex]e^1=(1,0), e^2=(0,1)[/tex] che, guarda caso possiamo proprio usare come assi cartesiani, dove [tex]e^1[/tex] rappresenta l'asse [tex]x[/tex] e [tex]e^2[/tex] rappresenta l'asse [tex]y[/tex], e la coordinata [tex](1,0)[/tex] rappresentano il punto dell'unità di misura dell'asse [tex]x[/tex], e la coordinata [tex](0,1)[/tex] rappresenta il punto dell'unità di misura dell'asse [tex]y[/tex].
Però nulla mi vieta di avere una base canonica "diversa", cioè con coordinate diverse da [tex](1,0)[/tex] e [tex](0,1)[/tex]; a questo punto ha sempre senso dire che questa base canonica diversa è il mio sistema cartesiano di riferimento del mio spazio vettoriale, oppure il sistema cartesiano rimane sempre quello classico e la base canonica ci "si appoggia" sopra?
Scusate le varie imprecisioni e soprattutto se non sono stato chiaro, nel caso provo a riformulare il mio dubbio.
Risposte
buona domenica Gundam, perchè hai postato in analisi invece che in geometria * ?
Nel caso foss una svista, fammelo sapere e sposto.
* magari c'è una ragione che mi sfugge
Nel caso foss una svista, fammelo sapere e sposto.
* magari c'è una ragione che mi sfugge
Il motivo è che sto studiando Analisi 1 e questi argomenti sono proprio sul mio testo di studio 
Up.
Vediamo se ho ben capito,Gundam:
ti basta se dico che la ragione per la quale $(e_1,..,e_n)$ è denominata base canonica di $RR^n$ è la stessa per la quale un riferimento cartesiano nel piano è solitamente fissato,per pura comodità,come c'hanno insegnato dalle Medie Inferiori,
invece di tracciare due linee tra loro perpendicolari che non lo siano alle direzioni dei bordi del foglio
(immaginate fisse,ad ex ponendovi sotto un pò di colla
)?
Certo potremmo anche fissarli diversamente,quegli assi:
ma perchè complicarci la Vita con rototraslazioni e trasformazioni geometriche assortite,quando non indispensabile,
se le componenti del vettore $vec(OP)$,con la "canonica" scelta degli assi,coincidono proprio con ascissa ed ordinata di $P$ ?
Poi è chiaro che ciò non vuo dire non farlo quando occorre,e/o ritovarsi spiazzati su come trattare le componenti qualora si decidesse di cambiare la scelta degli assi:
anche per questo saltan fuori le "matrici di passaggio" tra basi non coincidenti del medesimo spazio vettoriale..
Saluti dal web.
ti basta se dico che la ragione per la quale $(e_1,..,e_n)$ è denominata base canonica di $RR^n$ è la stessa per la quale un riferimento cartesiano nel piano è solitamente fissato,per pura comodità,come c'hanno insegnato dalle Medie Inferiori,
invece di tracciare due linee tra loro perpendicolari che non lo siano alle direzioni dei bordi del foglio
(immaginate fisse,ad ex ponendovi sotto un pò di colla
)?Certo potremmo anche fissarli diversamente,quegli assi:
ma perchè complicarci la Vita con rototraslazioni e trasformazioni geometriche assortite,quando non indispensabile,
se le componenti del vettore $vec(OP)$,con la "canonica" scelta degli assi,coincidono proprio con ascissa ed ordinata di $P$ ?
Poi è chiaro che ciò non vuo dire non farlo quando occorre,e/o ritovarsi spiazzati su come trattare le componenti qualora si decidesse di cambiare la scelta degli assi:
anche per questo saltan fuori le "matrici di passaggio" tra basi non coincidenti del medesimo spazio vettoriale..
Saluti dal web.
Oddio theras, non ho capito se ho capito, o meno, quello che hai scritto 
Praticamente volevo dirti che,ad esempio,la base canonica di $RR^2$ è l'unica,
tra le infinite coppie di vettori lineramente indipendenti $(a,b)$ del piano,che ha la comodità d'esser ortonormale(ossia,indicato con * il prodotto scalare su $RR^2$,si ha $a*a=b*b=1,a*b=b*a=0$)
e t.c. $(x,y)=x circ a+y circ b$,
sebbene ciò non vieti d'usarne altre all'occorrenza se lo si ritiene più opportuno:
dunque la risposta,se ho ben capito il tuo quesito,è la seconda delle tue opzioni..
Saluti dal web.
Edit:
modificato il comando per il prodotto esterno,sbagliato nella versione originale del post,
ed evidenziata l'importanza in questo discorso della congiunzione logica e(and,se si preferisce..)!
tra le infinite coppie di vettori lineramente indipendenti $(a,b)$ del piano,che ha la comodità d'esser ortonormale(ossia,indicato con * il prodotto scalare su $RR^2$,si ha $a*a=b*b=1,a*b=b*a=0$)
e t.c. $(x,y)=x circ a+y circ b$,
sebbene ciò non vieti d'usarne altre all'occorrenza se lo si ritiene più opportuno:
dunque la risposta,se ho ben capito il tuo quesito,è la seconda delle tue opzioni..
Saluti dal web.
Edit:
modificato il comando per il prodotto esterno,sbagliato nella versione originale del post,
ed evidenziata l'importanza in questo discorso della congiunzione logica e(and,se si preferisce..)!
Ok, quindi, rimanendo sull'esempio dello spazio [tex]\mathbb{R}^2[/tex], la base canonica se non diversamente specificato coincide con i classici assi cartesiani, fatto salvo che la posso comunque modificare all'occorrenza (la base canonica).
Grazie
Grazie
@theras: ciao, posso ovviamente sbagliarmi ma non sono d'accordo quando dici che la base canonica è l'unica ad essere ortonormale.
Per quel che ricordo, mi pare si dica base canonica di $RR^n$ quella di versori $e_1=(1,0,0,...,0)$ , $e_2=(0,1,0,...,0)$ , $..., e_n=(0,0,0,...,1)$ , ossia con $(e_j)_k=delta_(j,k)$ , ma non è l'unica ad essere ortonormale. Basta qualsisi n-upla di versori a due a due ortogonali.
Ad esempio in $RR^2$ la coppia: $u_1=(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$ , $u_2=(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$ è una base ortonormale ma non è la base canonica. Sbaglio?
Per quel che ricordo, mi pare si dica base canonica di $RR^n$ quella di versori $e_1=(1,0,0,...,0)$ , $e_2=(0,1,0,...,0)$ , $..., e_n=(0,0,0,...,1)$ , ossia con $(e_j)_k=delta_(j,k)$ , ma non è l'unica ad essere ortonormale. Basta qualsisi n-upla di versori a due a due ortogonali.
Ad esempio in $RR^2$ la coppia: $u_1=(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$ , $u_2=(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$ è una base ortonormale ma non è la base canonica. Sbaglio?
@Palliit.
Mi sono accorto ora che il comando per il prodotto esterno negli spazi vettoriali è circ,non circle
(tra l'altro il dittongo "le" mi doveva far drizzare le antenne..):
me ne scuso,ma se rileggi ora il mio precedente intervento sarà più chiaro che stiamo dicendo la stessa cosa
(io avevo attenzionato pure le componenti d'un generico vettore..)!
@Gundam.
Ci siamo quasi:
solo che è meglio affermare come la base canonica resta inalterata(come ogni altra..),
e le infinite altre sono equivalenti ad essa,ma più "contose",grazie alle rispettive matrici di passaggio..
Saluti dal web.
Mi sono accorto ora che il comando per il prodotto esterno negli spazi vettoriali è circ,non circle
(tra l'altro il dittongo "le" mi doveva far drizzare le antenne..):
me ne scuso,ma se rileggi ora il mio precedente intervento sarà più chiaro che stiamo dicendo la stessa cosa
(io avevo attenzionato pure le componenti d'un generico vettore..)!
@Gundam.
Ci siamo quasi:
solo che è meglio affermare come la base canonica resta inalterata(come ogni altra..),
e le infinite altre sono equivalenti ad essa,ma più "contose",grazie alle rispettive matrici di passaggio..
Saluti dal web.
"theras":
@Palliit.
Mi sono accorto ora che il comando per il prodotto esterno negli spazi vettoriali è circ,non circle
(tra l'altro il dittongo "le" mi doveva far drizzare le antenne..):
me ne scuso,ma se rileggi ora il mio precedente intervento sarà più chiaro che stiamo dicendo la stessa cosa
(io avevo attenzionato pure le componenti d'un generico vettore..)!
@Gundam.
Ci siamo quasi:
solo che è meglio affermare come la base canonica resta inalterata(come ogni altra..),
e le infinite altre sono equivalenti ad essa,ma più "contose",grazie alle rispettive matrici di passaggio..
Saluti dal web.
Benissimo, adesso è chiaro. Grazie
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