Spazio soluzioni equazione differenziale
Ciao, amici! Trovo scritto sul mio libro di analisi che "se la funzione matriciale \(A(t)\) è continua nell'intervallo $I \subset RR$ allora l'insieme \(\mathcal{S}\) di tutte le soluzioni definite su $I$ dell'equazione differenziale omogenea in $RR^n$
\[\boldsymbol y' = A(t) \boldsymbol y\]
costituisce uno spazio vettoriale di dimensione $n$". Il mio testo, per dimostrarlo, utilizza il teorema di esistenza ed unicità della soluzione su un chiuso $I=[a,b]$.
Mi chiedo però se il teorema che ho riportato valga anche su un aperto perché, mentre la dimostrazione fa riferimento al teorema di esistenza ed unicità valido su un chiuso, l'enunciato che ho citato parla di un generico $I$...
Qualcuno ha qualche idea?
Grazie di cuore a tutti!!
\[\boldsymbol y' = A(t) \boldsymbol y\]
costituisce uno spazio vettoriale di dimensione $n$". Il mio testo, per dimostrarlo, utilizza il teorema di esistenza ed unicità della soluzione su un chiuso $I=[a,b]$.
Mi chiedo però se il teorema che ho riportato valga anche su un aperto perché, mentre la dimostrazione fa riferimento al teorema di esistenza ed unicità valido su un chiuso, l'enunciato che ho citato parla di un generico $I$...
Qualcuno ha qualche idea?Grazie di cuore a tutti!!
Risposte
Non è molto importante: gli autori avranno dimostrato il teorema di esistenza e unicità locale su un intervallo chiuso, ma solo per comodità. Lo stessissimo ragionamento ti mostrerà che anche con intervalli di qualsiasi altra razza il teorema funziona lo stesso.
$+oo$ grazie, Dissonance! Commetto errori logici se dico che, se le condizioni (il mio libro le mette qui a pp. 395 e 405 rispettivamente per il caso generale e per quello di \(\boldsymbol y'= A(t) \boldsymbol y+\boldsymbol b (t)\)) sono soddisfatte in un aperto, lo sono su ogni chiuso $[a,b]$ contenuto nell'aperto e quindi la soluzione esiste ed è una su tutto l'aperto?
Grazie di cuore ancora!
Grazie di cuore ancora!
MMMhh se vuoi fare così puoi farlo tranquillamente ma devi stare un po' attento, prima sono stato un po' affrettato. Nel caso in questione non c'è nessun problema: se \(A(t)\) è continua sull'intervallo non necessariamente chiuso \(I\), allora in ogni sottointervallo compatto \(J\) di \(I\) hai un teorema di unicità e di esistenza globale, per cui l'unica soluzione di un problema di Cauchy è definita almeno su tutto \(J\); ma questo vale per ogni \(J\) e quindi il prolungamento massimale di questa soluzione è tutto \(I\). In conclusione c'è unicità e esistenza su tutto \(I\). Questi sono gli effetti benefici della linearità.
In presenza di equazioni non lineari c'è da stare più attenti perché non è detto che sia verificato un teorema globale su ogni sottointervallo compatto dell'intervallo temporale prescelto.
In presenza di equazioni non lineari c'è da stare più attenti perché non è detto che sia verificato un teorema globale su ogni sottointervallo compatto dell'intervallo temporale prescelto.
Grazie ancora!!!! Rompo troppo se ti chiedo perché non vale necessariamente ripetere il ragionamento secondo cui "se \(\boldsymbol f(t,\boldsymbol y)\) è continua sull'intervallo non necessariamente chiuso \(I\), allora in ogni sottointervallo compatto \(J\) di \(I\) hai un teorema di unicità e di esistenza globale, per cui l'unica soluzione di un problema di Cauchy è definita almeno su tutto \(J\), ma questo vale per ogni \(J\) e quindi il prolungamento massimale di questa soluzione è tutto \(I\) ed in conclusione c'è unicità e esistenza su tutto \(I\)" se \(\boldsymbol f(t,\boldsymbol y)\) non è lineare?
Grazie di cuore di nuovo!!!!
Grazie di cuore di nuovo!!!!
Prendi un esempio semplice semplice: \(y'(t)=y^2(t)\). In questo caso \(f(t,y)=y^2\) è una funzione localmente Lipschitziana ma tutte le soluzioni cessano di esistere in tempo finito. Il motivo è che non ci sono teoremi di esistenza globale su nessun intervallo temporale, neanche compatto.
Capito. \(\aleph_1\) grazie! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo