Spazio metrico e distanza tra funzioni
ciao a tutti, mi è stato proposto questo esercizio in preparazione dell'esame:
sia (X,d) lo spazio metrico delle funzioni limitate definite su [-1,1] a valori in R, munito della distanza d(f1,f2)=sup $ | f2(x)-f1(x) | $ .
siano f(x)= $ e^{x} $ e g(x)= $ [x] $ la funzione parte intera.
la d(f,g) mi viene detto che é uguale ad e, ma io non capisco come risulta, o meglio, io fatto i seguenti passaggi:
prima di tutto mi sono disegnato le due funzioni, e poi ho provato a calcolarmi la distanza in -1, in 0 e in 1, ottenendo
1+e^(-1) in -1
1 in 0
1-e=e-1 in 1 dato che in 1 [x] = 1. giusto?
come fa a risultare è?
sia (X,d) lo spazio metrico delle funzioni limitate definite su [-1,1] a valori in R, munito della distanza d(f1,f2)=sup $ | f2(x)-f1(x) | $ .
siano f(x)= $ e^{x} $ e g(x)= $ [x] $ la funzione parte intera.
la d(f,g) mi viene detto che é uguale ad e, ma io non capisco come risulta, o meglio, io fatto i seguenti passaggi:
prima di tutto mi sono disegnato le due funzioni, e poi ho provato a calcolarmi la distanza in -1, in 0 e in 1, ottenendo
1+e^(-1) in -1
1 in 0
1-e=e-1 in 1 dato che in 1 [x] = 1. giusto?
come fa a risultare è?
Risposte
Prova a calcolare la distanza in $1-\epsilon$ per $\epsilon$ piccolo piccolo. Poi manda $\epsilon$ a $0$ e vedi cosa viene fuori.
ci avevo pensato, ma poi sono chiesto: ma se mi sposto di un ϵ ok, la parte intera è zero...ma in quel caso nonn avrei più e, ma circa e, no??
anche perché per ϵ--->o, 1-ϵ--->1 e quindi =e-1, no?
anche perché per ϵ--->o, 1-ϵ--->1 e quindi =e-1, no?
La parte intera non è continua sugli interi. Quindi quando fai i limiti non puoi semplicemente sostituire dentro la funzione e via. Qual'è il limite per $x \to 1$ (da sinistra) di $[x]$ ?
cavolo, hai raggione, mi sa che mi sono fatto fregare anche un po' dal fatto che c'era il sup...grazie mille
A parte le considerazioni di carattere analitico, fare un disegno aiuta sempre.
Dato che \([x]=0\) per \(x\in ]-1,1[\), si ha \(|f_1(x)-f_2(x)|=e^x\) per \(x\in ]-1,1[\); d'altra parte \(|f_1(1)-f_2(1)|=e-1\) e \(|f_1(-1)-f_2(-1)|=1-e^{-1}\); quindi il grafico della funzione \(|f_1(x)-f_2(x)|=|e^x -[x]|\) è il seguente:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; plot("exp(x)",-1,1); dot([1,1.718]); dot([-1,0.632]);[/asvg]
e da ciò si vede subito che \(\displaystyle \lVert f_1-f_2\rVert_\infty = e = \lim_{x\to 1^-} |f_1(x)-f_2(x)|\).
Dato che \([x]=0\) per \(x\in ]-1,1[\), si ha \(|f_1(x)-f_2(x)|=e^x\) per \(x\in ]-1,1[\); d'altra parte \(|f_1(1)-f_2(1)|=e-1\) e \(|f_1(-1)-f_2(-1)|=1-e^{-1}\); quindi il grafico della funzione \(|f_1(x)-f_2(x)|=|e^x -[x]|\) è il seguente:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; plot("exp(x)",-1,1); dot([1,1.718]); dot([-1,0.632]);[/asvg]
e da ciò si vede subito che \(\displaystyle \lVert f_1-f_2\rVert_\infty = e = \lim_{x\to 1^-} |f_1(x)-f_2(x)|\).
si ha |f1(x)−f2(x)|=ex per x∈]−1,1[; d'altra parte |f1(1)−f2(1)|=e−1 e |f1(−1)−f2(−1)|=1−e−1; quindi il grafico della funzione |f1(x)−f2(x)|=|ex−[x]
su questo ci sono, su questo invece meno
[x]=0 per x∈]−1,1[
scusa, ma la parte intera da [-1;1] non è così?
inoltre non mi era così automatico pensare con il limite, ma osservando il grafico comunque ci si poteva arrivare, avete ragione
Dipende dalla definizione che usi di "parte intera".
E siccome non so quale definizione usi, né sei stato così gentile da esplicitarla nello OP, ho usato quella che io adopero abitualmente.
E siccome non so quale definizione usi, né sei stato così gentile da esplicitarla nello OP, ho usato quella che io adopero abitualmente.
mmm, chiedo scusa dell'imprecisione, ma premetto che:
-il testo come lo hai letto è coe è scritto
- non sapevo ci fossero diverse definizioni di parte intera,
-che il professore ce l'ha citata solo nella funzione mantissa
-che la definizione l'ho presa da wikipedia, con grafico annesso ovviamente
-so che wikipedia non è il massimo dell'affidabilità
quindi, specificare qualcosa che non è detto nel testo, non so come farlo
cerco anche le diverse possibilità ora so che ci sono diverse definizioni
-il testo come lo hai letto è coe è scritto
- non sapevo ci fossero diverse definizioni di parte intera,
-che il professore ce l'ha citata solo nella funzione mantissa
-che la definizione l'ho presa da wikipedia, con grafico annesso ovviamente
-so che wikipedia non è il massimo dell'affidabilità
quindi, specificare qualcosa che non è detto nel testo, non so come farlo
cerco anche le diverse possibilità ora so che ci sono diverse definizioni
"enzo_87":
specificare qualcosa che non è detto nel testo, non so come farlo
Facile: basta prendere il libro di teoria che ha consigliato il docente, aprirlo alla definizione di "parte intera", leggere la suddetta definizione e riportarla sul forum.
I libri, dopotutto, esistono per essere sfogliati, non per stare sugli scaffali a prendere polvere.
eggià, ancora più facile se il professore non usa libri ma solo appunti che lui scrive alla lavagna.
io mi ero affidato a questo http://it.wikipedia.org/wiki/Parte_intera
io mi ero affidato a questo http://it.wikipedia.org/wiki/Parte_intera
"enzo_87":
eggià, ancora più facile se il professore non usa libri ma solo appunti che lui scrive alla lavagna.
io mi ero affidato a questo http://it.wikipedia.org/wiki/Parte_intera
E allora mandagli una email in cui gli chiedi un riferimento bibliografico, o vacci a parlare allo studio quando ha ricevimento... Come si fa a studiare Analisi senza consultare nemmeno un libro?
Per me è una cosa impensabile.
E allora mandagli una email in cui gli chiedi un riferimento bibliografico, o vacci a parlare allo studio quando ha ricevimento... Come si fa a studiare Analisi senza consultare nemmeno un libro?
Per me è una cosa impensabile.
pienamente d'accordo, ma prendersela con me non cambia le cose, non sono io il professore.
gli altri corsi di ingegneria non sono in crisi come ingegneria civile, non ci mettono anni fa fare questo esame.
io ho provveduto ad acquistare il libro di canuto-tabacco, ma confrontando definizioni dei vari argomenti sono simili, ma non uguali. e per passare il suo esame, cosa già ardua di per se, non mi posso basare su altri testi ma mi devo basare sui suoi appunti.
anche io sono convinto che l'analisi è analisi, e che quello spiegato a me è uguale a quello che sai te,ma purtroppo nella scuola italiana le cose non sono così, e sinceramente la cosa mi fa adirare non poco
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