Spazio lp
Qualcuno mi sa indicare un testo (magati in inglese, così è + semplice trovarlo su internet) che dimostra che lo spazio lp (e non Lp) è completo! Ho lo stesso problema col sistema ortogonale trigonometrico. Grazie
Risposte
Che [tex]$\ell^p$[/tex] sia completo si dimostra a mano, non c'è nemmeno bisogno di scomodare la teoria della misura o un testo qualsiasi.
Prendi una successione [tex]$(x^m)_{m\in \mathbb{N}} \subseteq \ell^p$[/tex] in cui, per ogni [tex]$m$[/tex], [tex]$x^m=(x_n^m)_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] è una successione reale (o complessa, non cambia nulla) e supponi che esa sia di Cauchy in [tex]$\lVert \cdot \rVert_p$[/tex], ossia che:
(*) [tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N} :\quad \forall m,l\geq \nu ,\ \lVert x^m -x^l\rVert_p^p\leq \varepsilon^p$[/tex].
In tali ipotesi si ha, per ogni [tex]$n$[/tex], [tex]$|x_n^m-x_n^l|^p\leq \lVert x^m-x^l\rVert_p^p\leq \varepsilon^p$[/tex], ergo la successione [tex]$(x_n^m)_{m\in \mathbb{N}}$[/tex] è di Cauchy in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (o in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]); se poni per definizione [tex]$x_n:=\lim_m x_n^m$[/tex] e [tex]$x:=(x_n)$[/tex], è abbastanza lecito supporre che [tex]$x\in \ell^p$[/tex] ed [tex]$x^m\to x$[/tex] in [tex]$\ell^p$[/tex]... Proviamolo!
Perchè [tex]$(x^m)$[/tex] è di Cauchy, essa è limitata in norma, ossia esiste una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tale che [tex]$\lVert x^m\rVert_p \leq C$[/tex] per tutti gli indici [tex]$m$[/tex]; ciò implica che per ogni [tex]$N$[/tex] si abbia [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m|^p \leq C^p$[/tex] e, passando ambo i membri di tale disuguaglianza al limite per [tex]$m\to +\infty$[/tex], si riconosce che [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n|^p \leq C^p$[/tex]; data l'arbitrarietà di [tex]$N$[/tex], si può passare al limite ambo i membri l'ultima disuguaglianza per [tex]$N\to +\infty$[/tex] ed ottenere [tex]$\lVert x\rVert_p^p \leq C^p<+\infty$[/tex], sicché [tex]$x\in \ell^p$[/tex].
Più o meno allo stesso modo, ma partendo dalla condizione di Cauchy (*), si dimostra che [tex]$\lVert x^m-x\rVert_p \to 0$[/tex] (in particolare: per fissato [tex]$N$[/tex], si ha [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m-x_n^l|^p \leq \varepsilon^p$[/tex]; si passa al limite per [tex]$l\to +\infty$[/tex] e si ricava [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m-x_n|^p \leq \varepsilon^p$[/tex]; infine si passa al limite per [tex]$N\to +\infty$[/tex]), quindi [tex]$x^m\to x$[/tex] in [tex]$\ell^p$[/tex].
Ne viene che ogni successione di Cauchy in [tex]$\ell^p$[/tex] ha limite in [tex]$\ell^p$[/tex], ergo [tex]$\ell^p$[/tex] è completo.
Prendi una successione [tex]$(x^m)_{m\in \mathbb{N}} \subseteq \ell^p$[/tex] in cui, per ogni [tex]$m$[/tex], [tex]$x^m=(x_n^m)_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] è una successione reale (o complessa, non cambia nulla) e supponi che esa sia di Cauchy in [tex]$\lVert \cdot \rVert_p$[/tex], ossia che:
(*) [tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N} :\quad \forall m,l\geq \nu ,\ \lVert x^m -x^l\rVert_p^p\leq \varepsilon^p$[/tex].
In tali ipotesi si ha, per ogni [tex]$n$[/tex], [tex]$|x_n^m-x_n^l|^p\leq \lVert x^m-x^l\rVert_p^p\leq \varepsilon^p$[/tex], ergo la successione [tex]$(x_n^m)_{m\in \mathbb{N}}$[/tex] è di Cauchy in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (o in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]); se poni per definizione [tex]$x_n:=\lim_m x_n^m$[/tex] e [tex]$x:=(x_n)$[/tex], è abbastanza lecito supporre che [tex]$x\in \ell^p$[/tex] ed [tex]$x^m\to x$[/tex] in [tex]$\ell^p$[/tex]... Proviamolo!
Perchè [tex]$(x^m)$[/tex] è di Cauchy, essa è limitata in norma, ossia esiste una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tale che [tex]$\lVert x^m\rVert_p \leq C$[/tex] per tutti gli indici [tex]$m$[/tex]; ciò implica che per ogni [tex]$N$[/tex] si abbia [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m|^p \leq C^p$[/tex] e, passando ambo i membri di tale disuguaglianza al limite per [tex]$m\to +\infty$[/tex], si riconosce che [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n|^p \leq C^p$[/tex]; data l'arbitrarietà di [tex]$N$[/tex], si può passare al limite ambo i membri l'ultima disuguaglianza per [tex]$N\to +\infty$[/tex] ed ottenere [tex]$\lVert x\rVert_p^p \leq C^p<+\infty$[/tex], sicché [tex]$x\in \ell^p$[/tex].
Più o meno allo stesso modo, ma partendo dalla condizione di Cauchy (*), si dimostra che [tex]$\lVert x^m-x\rVert_p \to 0$[/tex] (in particolare: per fissato [tex]$N$[/tex], si ha [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m-x_n^l|^p \leq \varepsilon^p$[/tex]; si passa al limite per [tex]$l\to +\infty$[/tex] e si ricava [tex]$\sum_{n=1}^N |x_n^m-x_n|^p \leq \varepsilon^p$[/tex]; infine si passa al limite per [tex]$N\to +\infty$[/tex]), quindi [tex]$x^m\to x$[/tex] in [tex]$\ell^p$[/tex].
Ne viene che ogni successione di Cauchy in [tex]$\ell^p$[/tex] ha limite in [tex]$\ell^p$[/tex], ergo [tex]$\ell^p$[/tex] è completo.
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