Spazio L2,integrale di Lebesgue e trasformata di Fourier
Salve a tutti,
sto studiando un po' teoria della misura e l'integrale di Lebesgue.
Penso di aver capito la costruzione e l'utilità dell'integrale di Lebesgue ma nonostante ciò mi è venuto un dubbio
sul suo utilizzo ad esempio per la trasformata di Fourier.
Mi è sembrato di capire, che per le trasformate di Fourier bisogna utilizzare funzioni in L2 visto che lo spazio L2 è uno spazio di Hilbert.
Ed è proprio qui che viene il dubbio, l'integrale che si usa nella trasformata di fourier $ \int f(x)e^(-itx) dx $ è alla Lebesgue o alla Riemman?
Lo spazio L2 è strettamente contenuto nello spazio L1, quindi le funzioni quadrato sommabili dovrebbero essere integrabili alla Lebesgue, tuttavia, mi ricordo che una volta un mio professore ci disse (ma magari ricordo male io) che in certe situazioni (come il caso della trasformata di Fourier) non è conveniente utilizzare l'integrale alla Lebesgue e quindi penso che l'integrale sopra utilizzata sia definito alla Riemman.
Qualcuno riesci a illuminarmi?
sto studiando un po' teoria della misura e l'integrale di Lebesgue.
Penso di aver capito la costruzione e l'utilità dell'integrale di Lebesgue ma nonostante ciò mi è venuto un dubbio
sul suo utilizzo ad esempio per la trasformata di Fourier.
Mi è sembrato di capire, che per le trasformate di Fourier bisogna utilizzare funzioni in L2 visto che lo spazio L2 è uno spazio di Hilbert.
Ed è proprio qui che viene il dubbio, l'integrale che si usa nella trasformata di fourier $ \int f(x)e^(-itx) dx $ è alla Lebesgue o alla Riemman?
Lo spazio L2 è strettamente contenuto nello spazio L1, quindi le funzioni quadrato sommabili dovrebbero essere integrabili alla Lebesgue, tuttavia, mi ricordo che una volta un mio professore ci disse (ma magari ricordo male io) che in certe situazioni (come il caso della trasformata di Fourier) non è conveniente utilizzare l'integrale alla Lebesgue e quindi penso che l'integrale sopra utilizzata sia definito alla Riemman.
Qualcuno riesci a illuminarmi?
Risposte
L'inclusione di cui tu parli, ovvero \(\displaystyle L^2 \subset L^1\), vale sugli spazi di misura finita! Non si usa questa immersione per definire la trasformata di Fourier in \(\displaystyle L^2( \mathbb R) \). Il procedimento corretto consiste nel:
1. Definire lo spazio di Schwartz, e verificare che questo è un sottospazio denso in \(\displaystyle L^2 \).
2. Verificare che la trasformata di Fourier è un isomorfismo isometrico dallo spazio di Schwartz in sé stesso.
Da queste ne segue che, per densità, la trasformata di Fourier \(\displaystyle \mathcal F \) si estende ad un operatore lineare e isometrico \(\displaystyle \mathcal F : L^2 \rightarrow L^2\). Ma le isometrie di uno spazio di Hilbert (o più in generale di uno spazio di Banach) hanno immagine chiusa, e quindi \(\displaystyle \mathcal F \) è suriettiva, quindi un isomorfismo isometrico (altresì detto operatore unitario) di \(\displaystyle L^2 \) in sè stesso.
Questo fatto, e in particolare il punto 2, si chiama Teorema di Plancherel.
Per quanto mi riguarda, la trasformata di Fourier è sempre intesa nel senso di Lebesgue. Comunque il professore ha sempre ragione
.
Ricorda peró che sulle funzioni continue e integrabili l'integrale di Lebesgue e quello di Riemann coincidono.
Ultimo fatto che ti faccio presente: la trasformata di Fourier manda funzioni integrabili in funzioni continue.
1. Definire lo spazio di Schwartz, e verificare che questo è un sottospazio denso in \(\displaystyle L^2 \).
2. Verificare che la trasformata di Fourier è un isomorfismo isometrico dallo spazio di Schwartz in sé stesso.
Da queste ne segue che, per densità, la trasformata di Fourier \(\displaystyle \mathcal F \) si estende ad un operatore lineare e isometrico \(\displaystyle \mathcal F : L^2 \rightarrow L^2\). Ma le isometrie di uno spazio di Hilbert (o più in generale di uno spazio di Banach) hanno immagine chiusa, e quindi \(\displaystyle \mathcal F \) è suriettiva, quindi un isomorfismo isometrico (altresì detto operatore unitario) di \(\displaystyle L^2 \) in sè stesso.
Questo fatto, e in particolare il punto 2, si chiama Teorema di Plancherel.
Per quanto mi riguarda, la trasformata di Fourier è sempre intesa nel senso di Lebesgue. Comunque il professore ha sempre ragione
.Ricorda peró che sulle funzioni continue e integrabili l'integrale di Lebesgue e quello di Riemann coincidono.
Ultimo fatto che ti faccio presente: la trasformata di Fourier manda funzioni integrabili in funzioni continue.
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