Spazio L^2 e sommabilità

[jack41]

Buongiorno, avrei necessità di sapere una condizione sufficente affinche:

se la funzione $ x(t) in L^2(R) rArr x(t) in L(R) $

dove con $L^2(R) $ intendo che: $ int_(R)^() x(t)^2 dt < +oo $
e con $ L(R) $ l'insieme delle funzioni sommabili in R

Grazie per l'atenzione

Saluti
Giacomo

[dissonance]

Informalmente, gli ostacoli che impediscono l'appartenenza di una funzione alla classe $L^p(\mathbb{R})$ sono due: la presenza di singolarità al finito e il decadimento troppo lento all'infinito. Se una funzione è di classe $L^2$, essa può avere singolarità al finito, ma (attenzione! continuo a parlare informalmente) al più di ordine $|x-x_0|^{-\frac{1}{2}-\epsilon}$. All'infinito invece, essa deve decadere almeno con ordine $|x|^{-\frac{1}{2}+\epsilon}$. (ATTENZIONE!!! Queste sono tutte chiacchiere informali e non teoremi; esistono controesempi a mostrare che non si possono prendere queste affermazioni alla lettera).

Quindi al finito la condizione $L^2$ implica quella $L^1$. All'infinito invece no. Ti serve perciò una condizione di decadimento sufficientemente rapido. Ad esempio, le due condizioni \(f\in L^2(\mathbb{R}),\ \lvert f(x)\rvert\le C \lvert x\rvert^{-1-\epsilon}\) implicano che $f\in L^1(\mathbb{R})$.