Spazio \(L^1(\mathbb R^n\times\mathbb R^n)\)

[fireball1]

Supponiamo di avere \(f\in L^1(\mathbb R^n)\). E' vero che la funzione \((x,y)\mapsto f(x-y) \in L^1(\mathbb R^n\times\mathbb R^n)\) ? Secondo me no. Infatti, \[\int_{\mathbb R^n \times \mathbb R^n} |f(x-y)|\,dx\,dy = \int_{\mathbb R^n} \left ( \int_{\mathbb R^n} |f(x-y)|\,dx\right)\,dy\] oppure il contrario (prima in dy e poi in dx), ma in entrambi i casi l'integrale "più interno" è finito e costante, dunque l'integrale su tutto \(\mathbb R^n \times \mathbb R^n\) divergerebbe...

Cosa ne pensate?

[dissonance]

Senti, secondo me hai sicuramente ragione sul fatto che il risultato non sia vero, ma la tua dimostrazione mi sorprende un po'. Tu infatti dimostri che per qualsiasi funzione \(f\) (a parte il caso banale \(f=0\)) sommabile su \(\mathbb{R}\), la funzione \(f(x-y)\) non è sommabile su \(\mathbb{R}^2\), il che è molto di più di questo e a naso non mi pare vero... Prendiamo ad esempio \(f(x)=e^{-x^2}\). Se quanto dici è vero dovrebbe essere che \(f(x-y)=e^{-(x-y)^2}\) non è sommabile su \(\mathbb{R}^2\), ma questo non mi pare verificarsi. Mi sbaglio?

[fireball1]

"dissonance": Se quanto dici è vero dovrebbe essere che \(f(x-y)=e^{-(x-y)^2}\) non è sommabile su \(\mathbb{R}^2\), ma questo non mi pare verificarsi.

Intanto grazie per essere intervenuto. Beh, no, \(e^{-(x-y)^2}\) non è sommabile su \(\mathbb R^2\)... Infatti integrando
una volta (in x o in y non cambia nulla) viene il solito \(\sqrt \pi\), integrando una seconda volta viene \(+\infty\)...
Se fosse venuto fuori \(e^{-(x^2+y^2)}\) dalla composizione \(f(x-y)\) allora sì, sarebbe stata sommabile.

[dissonance]

"fireball":Intanto grazie per essere intervenuto. Beh, no, \(e^{-(x-y)^2}\) non è sommabile su \(\mathbb R^2\)... Infatti integrando
una volta (in x o in y non cambia nulla) viene il solito \(\sqrt \pi\), integrando una seconda volta viene \(+\infty\)...

Si, certo, ma infatti mi pare proprio che tu abbia ragione. E' che vorrei capire: uno guarda così, sommariamente, quella funzione \(e^{-(x-y)^2}\) e conclude: essa decade esponenzialmente per \(x^2+y^2 \to +\infty\) e perciò è sommabile. E sbaglia. Perché?

[fireball1]

Il perché credo che risieda nel doppio prodotto...

[DajeForte]

@fireball: carino come questione, diciamo che anche io ti do ragione però aspetterei altre conferme per giocarmici la casa

@dissonance: cosa intendi? se intendi che quando il punto si alontana dall'origine decade esponenzialmente questo non è vero; perchè ad esempio sulla retta y=x la funzione vale 1. In realtà presa una qualunque retta a tg 1 (y=x+k) la funzione è costante

[Paolo902]

Secondo me, è -in ultima analisi- una di quelle questioni dove la dipendenza da $theta$ (nel doppio prodotto, appunto) fa saltare l'uniformità.

In effetti, se ci pensi [tex]e^{-||x||^{2}}[/tex] non dipende esplicitamente dall'angolo $theta$, ma solo da $rho$; nel nostro caso, invece, la dipendenza c'è eccome e probabilmente il busillis sta lì.

[dissonance]

E si ragazzi, avete ragione. Non è vero che

\[\lim_{x^2+y^2 \to \infty} e^{-(x-y)^2}=0,\]

infatti, come dice DajeForte (e per il motivo specificato da Paolo), quel limite non esiste proprio. Pertanto non c'è da stupirsi se la funzione non è sommabile!

Morale della favola: fare attenzione con i limiti di più variabili! E' facile trarre conclusioni affrettate.

[fireball1]

Già... Beh, grazie a tutti!