Spazio di Sobolev \(\displaystyle W^{1,\infty}\) e funzioni lipschitziane
Ciao a tutti, ho un problema che non riesco a risolvere:
si tratta di provare che in un sottoinsieme limitato \(\displaystyle \Omega \) di \(\displaystyle R^n \) una funzione è lipschitziana se e solo se appartiene a \(\displaystyle W^{1,\infty}(\Omega) \).
La dimostrazione utilizza il teorema di Alaoglu, cioè il fatto che la palla unitaria nel duale è compatta per la topologia debole *, in particolare che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è compatta nella topologia \(\displaystyle \sigma(L^\infty,L^1) \). Per questo motivo prendo una successione in \(\displaystyle B_{L^\infty} \) e ne estraggo una sottosuccessione convergente.
Il mio problema inizia qui perché sugli appunti trovo scritto che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) con la topologia debole * non è metrizzabile e quindi non riesco a estrarre una sottosuccessione, mentre Brezis e il buonsenso mi dicono che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è metrizzabile, infatti \(\displaystyle L^\infty \) è il duale di \(\displaystyle L^1 \) che è separabile (e c'è un teorema che mi dice che la palla unitaria del duale è metrizzabile se e solo se lo spazio è separabile).
Chi mi aiuta a sciogliere questo enigma?
Grazie mille
si tratta di provare che in un sottoinsieme limitato \(\displaystyle \Omega \) di \(\displaystyle R^n \) una funzione è lipschitziana se e solo se appartiene a \(\displaystyle W^{1,\infty}(\Omega) \).
La dimostrazione utilizza il teorema di Alaoglu, cioè il fatto che la palla unitaria nel duale è compatta per la topologia debole *, in particolare che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è compatta nella topologia \(\displaystyle \sigma(L^\infty,L^1) \). Per questo motivo prendo una successione in \(\displaystyle B_{L^\infty} \) e ne estraggo una sottosuccessione convergente.
Il mio problema inizia qui perché sugli appunti trovo scritto che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) con la topologia debole * non è metrizzabile e quindi non riesco a estrarre una sottosuccessione, mentre Brezis e il buonsenso mi dicono che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è metrizzabile, infatti \(\displaystyle L^\infty \) è il duale di \(\displaystyle L^1 \) che è separabile (e c'è un teorema che mi dice che la palla unitaria del duale è metrizzabile se e solo se lo spazio è separabile).
Chi mi aiuta a sciogliere questo enigma?
Grazie mille
Risposte
Non sono sicuro di aver afferrato bene il problema. Comunque, il duale con la topologia debole star non è mai metrizzabile (in dimensione infinita, si intende), ma questo non impedisce che la palla unitaria del duale (con la weak star) possa esserlo. E come giustamente dici tu, stante la separabilità di $L^1$, certamente la palla unitaria in $L^{\infty}$ con la weak star è metrizzabile, quindi compattezza sse compattezza sequenziale.
Un po' più chiaro?
Un po' più chiaro?
Il teorema, così com'è enunciato, non è vero.
In altre parole, esistono aperti limitati per i quali la classe \(W^{1,\infty}\) e la classe \(C^{0,1}\) non coincidono; in particolare, si ha \(C^{0,1}\subset W^{1,\infty}\). Una situazione del genere la trovi discussa questo post e seguenti.
Morale della favola: per avere \(C^{0,1}=W^{1,\infty}\) è necessario assumere come ipotesi la regolarità del bordo del dominio base (imponendo, ad esempio, una condizione di Lipschitz), altrimenti salta tutto.
In altre parole, esistono aperti limitati per i quali la classe \(W^{1,\infty}\) e la classe \(C^{0,1}\) non coincidono; in particolare, si ha \(C^{0,1}\subset W^{1,\infty}\). Una situazione del genere la trovi discussa questo post e seguenti.
Morale della favola: per avere \(C^{0,1}=W^{1,\infty}\) è necessario assumere come ipotesi la regolarità del bordo del dominio base (imponendo, ad esempio, una condizione di Lipschitz), altrimenti salta tutto.
Io in realtà mi ero bloccato sul dimostrare l'inclusione \( C^{0,1} \subset W^{1,\infty} \) (a quanto pare per l'implicazione inversa fa un discorso locale attorno a un punto).
Cerco di spiegarmi meglio e scusatemi per aver fatto confusione : ho una successione \(\displaystyle u_n \) in \(\displaystyle B_{L^\infty} \) (palla unitaria del duale di \(\displaystyle L^1 \) ), per dimostrare il mio teorema ho bisogno di estrarre una sottosuccessione \(\displaystyle u_{n_j} \) che converge in \(\displaystyle L^\infty \) per la topologia debole * \(\displaystyle \sigma(L^\infty ,L^1) \). In pratica alla fine mi interessa avere \(\displaystyle \int u_{n_j} \phi = \int u \phi \) \(\displaystyle \forall \phi \in L^1 \) e quindi \(\displaystyle \forall \phi \in C^\infty_c \) .
Non vedo perché questo non dovrebbe essere possibile, eppure sugli appunti c'è scritto che non si può fare, e viene usato un metodo ben più intricato.
Magari la risposta è banale ma non avendo le basi (sono un fisico esodato) questo mi ha fatto perdere un paio d'ore.
Grazie per la pazienza.
Cerco di spiegarmi meglio e scusatemi per aver fatto confusione : ho una successione \(\displaystyle u_n \) in \(\displaystyle B_{L^\infty} \) (palla unitaria del duale di \(\displaystyle L^1 \) ), per dimostrare il mio teorema ho bisogno di estrarre una sottosuccessione \(\displaystyle u_{n_j} \) che converge in \(\displaystyle L^\infty \) per la topologia debole * \(\displaystyle \sigma(L^\infty ,L^1) \). In pratica alla fine mi interessa avere \(\displaystyle \int u_{n_j} \phi = \int u \phi \) \(\displaystyle \forall \phi \in L^1 \) e quindi \(\displaystyle \forall \phi \in C^\infty_c \) .
Non vedo perché questo non dovrebbe essere possibile, eppure sugli appunti c'è scritto che non si può fare, e viene usato un metodo ben più intricato.
Magari la risposta è banale ma non avendo le basi (sono un fisico esodato) questo mi ha fatto perdere un paio d'ore.
Grazie per la pazienza.
..qualcuno saprebbe dirmi in che libro trovo il teorema \(\displaystyle f \in W^{1,\infty} \Leftrightarrow \) \(\displaystyle f \) lipschitziana? 
In nessun libro, perché (come ho già detto), il teorema enunciato così è falso... Per avere \(u\in W^{1,\infty} (\Omega) \Leftrightarrow u\in C^{0,1}(\Omega)\) c'è bisogno necessariamente di fare opportune ipotesi sulla regolarità del bordo.*
Tutto quello che si può dire senza fare ipotesi su \(\partial \Omega\), che io sappia, è che per ogni \(u\in W^{1,\infty} (\Omega)\) esiste una costante \(C\geq 0\) tale che si ha:
\[
\| u(\cdot +h)-u(\cdot)\|_{\infty,\Omega^\prime} := \operatorname{esssup}_{x\in \Omega^\prime} |u(x+h) -u(x)| \leq C\ |h|\; ,
\]
per ogni \(\Omega^\prime \subset \subset \Omega\) e per ogni \(|h|<\operatorname{dist}(\Omega^\prime, \partial \Omega)\); in particolare \(C:=\| \nabla u\|_{\infty ,\Omega}\) (cfr. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs, Prop. 9.3 e Rem. 7).
La cosa cambia se \(\Omega=\mathbb{R}^N\), poiché in quel caso non ci sono problemi di bordo, e la precedente diventa:
\[
\| u(\cdot +h)-u(\cdot)\|_{\infty,\mathbb{R}^N} \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |h|
\]
da cui segue:
\[
|u(x+h) -u(x)| \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |h|
\]
per q.o. \(x\in \mathbb{R}^N\); prendendo \(h=y-x\), la precedente diviene:
\[
|u(y)-u(x)| \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |y-x|
\]
sicché \(u\) è q.o. lipschitziana, il che importa che \(u\) ha un rappresentante lipschitziano.
Cosa devi dimostrare di preciso?
Da quale testo stai prendendo spunto? (Brezis?)
__________
* In generale, questo è sempre vero quando si tratta di spazi di Sobolev, poiché le proprietà di tali spazi sono quasi sempre legate alla geometria del dominio, non solo alle sue caratteristiche topologico/metriche (i.e., l'essere aperto, chiuso, limitato o illimitato).
Tutto quello che si può dire senza fare ipotesi su \(\partial \Omega\), che io sappia, è che per ogni \(u\in W^{1,\infty} (\Omega)\) esiste una costante \(C\geq 0\) tale che si ha:
\[
\| u(\cdot +h)-u(\cdot)\|_{\infty,\Omega^\prime} := \operatorname{esssup}_{x\in \Omega^\prime} |u(x+h) -u(x)| \leq C\ |h|\; ,
\]
per ogni \(\Omega^\prime \subset \subset \Omega\) e per ogni \(|h|<\operatorname{dist}(\Omega^\prime, \partial \Omega)\); in particolare \(C:=\| \nabla u\|_{\infty ,\Omega}\) (cfr. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs, Prop. 9.3 e Rem. 7).
La cosa cambia se \(\Omega=\mathbb{R}^N\), poiché in quel caso non ci sono problemi di bordo, e la precedente diventa:
\[
\| u(\cdot +h)-u(\cdot)\|_{\infty,\mathbb{R}^N} \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |h|
\]
da cui segue:
\[
|u(x+h) -u(x)| \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |h|
\]
per q.o. \(x\in \mathbb{R}^N\); prendendo \(h=y-x\), la precedente diviene:
\[
|u(y)-u(x)| \leq \| \nabla u\|_{\infty, \mathbb{R}^N}\ |y-x|
\]
sicché \(u\) è q.o. lipschitziana, il che importa che \(u\) ha un rappresentante lipschitziano.
Cosa devi dimostrare di preciso?
Da quale testo stai prendendo spunto? (Brezis?)
__________
* In generale, questo è sempre vero quando si tratta di spazi di Sobolev, poiché le proprietà di tali spazi sono quasi sempre legate alla geometria del dominio, non solo alle sue caratteristiche topologico/metriche (i.e., l'essere aperto, chiuso, limitato o illimitato).
Ok per la parte \(\displaystyle u \in C^{0,1} \Rightarrow u \in W^{1,\infty} \) mi mancava proprio l'ipotesi \(\displaystyle \Omega' \subset \subset \Omega \) e considerare un intorno di raggio \(\displaystyle < d(\Omega',\partial \Omega ) \) 
(sto usando il Brezis)
Il grosso problema è che per dimostrare l'inverso \(\displaystyle u \in C^{0,1} \Leftarrow u \in W^{1,\infty} \) mi serve estrarre una sottosuccessione convergente (per la topologia debole *) nella palla unitaria \(\displaystyle B \) di \(\displaystyle L^\infty \).
Ora, io non vedo nessun problema a farlo, anche perché la topologia debole * è metrizzabile su \(\displaystyle B \) (come trovo su Brezis Corollario 3.30 eccetera).
Però sugli appunti c'è scritto che questo non si può fare (e finora sono stati affidabilissimi), vorrei sapere se c'è qualcosa di più profondo che io non sto capendo oppure c'è semplicemente un errore negli appunti.
(sto usando il Brezis)Il grosso problema è che per dimostrare l'inverso \(\displaystyle u \in C^{0,1} \Leftarrow u \in W^{1,\infty} \) mi serve estrarre una sottosuccessione convergente (per la topologia debole *) nella palla unitaria \(\displaystyle B \) di \(\displaystyle L^\infty \).
Ora, io non vedo nessun problema a farlo, anche perché la topologia debole * è metrizzabile su \(\displaystyle B \) (come trovo su Brezis Corollario 3.30 eccetera).
Però sugli appunti c'è scritto che questo non si può fare (e finora sono stati affidabilissimi), vorrei sapere se c'è qualcosa di più profondo che io non sto capendo oppure c'è semplicemente un errore negli appunti.
"Gengis Cohen":
Ok per la parte \( \displaystyle u \in C^{0,1} \Rightarrow u \in W^{1,\infty} \) mi mancava proprio l'ipotesi \( \displaystyle \Omega' \subset \subset \Omega \) e considerare un intorno di raggio \( \displaystyle < d(\Omega',\partial \Omega ) \)
Ok.
"Gengis Cohen":
Il grosso problema è che per dimostrare l'inverso \( \displaystyle u \in C^{0,1} \Leftarrow u \in W^{1,\infty} \)
L'esempio cui ti ho rimandato mostra che in generale questa implicazione, i.e. \( u \in C^{0,1} \Leftarrow u \in W^{1,\infty}\) non è vera in alcuni domini; quindi non vedo come tu possa dimostrarla, nemmeno localmente dentro il tuo \(\Omega\), senza ipotesi aggiuntive.
Te lo richiedo: com'è precisamente l'enunciato del teorema che vuoi dimostrare?
Quali appunti/dispense stai usando?
Ho sbagliato a scrivere il verso delle implicazioni, chiedo scusa. 
Intendevo dire che per dimostrare che se \(\displaystyle u \in W^{1,\infty}(\Omega) \) allora esiste una costante \(\displaystyle C \) tale che per ogni \(\displaystyle \Omega' \subset \subset \Omega \) e per ogni \(\displaystyle h \) t.c. \(\displaystyle |h|
L'enunciato inverso è (a quanto scritto sugli appunti) il seguente:
se \(\displaystyle f \) funzione lipschitziana su \(\displaystyle \Omega \subseteq \Re^N \) aperto, allora \(\displaystyle f \in W^{1,\infty}(\Omega) \).
La dimostrazione parte col definire per dei generici \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle \vec{e_i} \) versore in \(\displaystyle \Re^N \), e \(\displaystyle \forall h \in \Re \) le funzioni \(\displaystyle v_h(x)=\frac{f(x+h\vec{e_i})-f(x)}{h} \). Dalla lipschitzianità di \(\displaystyle f \) si mostra che \(\displaystyle ||v_h|| < M \) \(\displaystyle \forall h \) e quindi dato che per il teorema di Alaoglu la palla unitaria di \(\displaystyle L^\infty \) è compatta per la topologia debole * (e la funzione \(\displaystyle x \mapsto Lx \) è lineare e perciò continua(?) ) ottengo che \(\displaystyle B(0,L) \) in \(\displaystyle L^\infty \) è compatta.
Dato che \(\displaystyle L^1 \) è separabile a questo punto dovrei avere che la topologia debole * su \(\displaystyle B(0,L)_{L^\infty} \) è metrizzabile, e quindi esiste una sottosuccessione \(n_j \) con \(\displaystyle |h_{n_j}|\rightarrow 0 \) e
\(\displaystyle \int_{\Omega} v_{h_{n_j}}(x) \phi (x) \rightarrow \int_{\Omega} d (x) \phi (x) \) \(\displaystyle \forall \phi \in L^1 \) con \(\displaystyle d \in L^\infty \). Da qui dico che la convergenza degli integrali vale anche \(\displaystyle \forall \phi \in C^\infty_c() \) (e quindi con le convergenze punto a dimostrare che \(\displaystyle d \) è la derivata debole che mi serve).
Il problema è che sugli appunti ho scritto che "non si può estrarre una sottosuccessione \(\displaystyle v_{h_{n_j}} \)" e c'è tutto un procedimento per trovare una sottosuccessione "generalizzata". Vorrei capire se ho frainteso/sbagliato a prendere gli appunti oppure c'è una spiegazione e io non la capisco.
Intendevo dire che per dimostrare che se \(\displaystyle u \in W^{1,\infty}(\Omega) \) allora esiste una costante \(\displaystyle C \) tale che per ogni \(\displaystyle \Omega' \subset \subset \Omega \) e per ogni \(\displaystyle h \) t.c. \(\displaystyle |h|
L'enunciato inverso è (a quanto scritto sugli appunti) il seguente:
se \(\displaystyle f \) funzione lipschitziana su \(\displaystyle \Omega \subseteq \Re^N \) aperto, allora \(\displaystyle f \in W^{1,\infty}(\Omega) \).
La dimostrazione parte col definire per dei generici \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle \vec{e_i} \) versore in \(\displaystyle \Re^N \), e \(\displaystyle \forall h \in \Re \) le funzioni \(\displaystyle v_h(x)=\frac{f(x+h\vec{e_i})-f(x)}{h} \). Dalla lipschitzianità di \(\displaystyle f \) si mostra che \(\displaystyle ||v_h|| < M \) \(\displaystyle \forall h \) e quindi dato che per il teorema di Alaoglu la palla unitaria di \(\displaystyle L^\infty \) è compatta per la topologia debole * (e la funzione \(\displaystyle x \mapsto Lx \) è lineare e perciò continua(?) ) ottengo che \(\displaystyle B(0,L) \) in \(\displaystyle L^\infty \) è compatta.
Dato che \(\displaystyle L^1 \) è separabile a questo punto dovrei avere che la topologia debole * su \(\displaystyle B(0,L)_{L^\infty} \) è metrizzabile, e quindi esiste una sottosuccessione \(n_j \) con \(\displaystyle |h_{n_j}|\rightarrow 0 \) e
\(\displaystyle \int_{\Omega} v_{h_{n_j}}(x) \phi (x) \rightarrow \int_{\Omega} d (x) \phi (x) \) \(\displaystyle \forall \phi \in L^1 \) con \(\displaystyle d \in L^\infty \). Da qui dico che la convergenza degli integrali vale anche \(\displaystyle \forall \phi \in C^\infty_c() \) (e quindi con le convergenze punto a dimostrare che \(\displaystyle d \) è la derivata debole che mi serve).
Il problema è che sugli appunti ho scritto che "non si può estrarre una sottosuccessione \(\displaystyle v_{h_{n_j}} \)" e c'è tutto un procedimento per trovare una sottosuccessione "generalizzata". Vorrei capire se ho frainteso/sbagliato a prendere gli appunti oppure c'è una spiegazione e io non la capisco.
Io non sono molto pratico con gli spazi di Sobolev (ancora per qualche settimana, ahimé 
)
Tuttavia, per quanto capisco, il problema è quasi esclusivamente di natura topologica:
Ma appunto, quello che scrivi - suggerimento del buon senso e di Brezis - è corretto, come già ti dicevo ieri:
In altre parole, la palla è weakly star compatta (Alaoglu) e in più è metrizzabile (teorema che citi): ma in un metrico, la compattezza (ogni ricoprimento aperto ha sottoricoprimento finito) e la compattezza per sequenze (ogni sequenza ha estratta convergente) coincidono. Qui, se ne hai bisogno, dalla tua successione nella palla unitaria puoi benissimo estrarre una sottosuccessione (debolmente star) convergente.
Spero di non aver detto corbellerie.
)Tuttavia, per quanto capisco, il problema è quasi esclusivamente di natura topologica:
"Gengis Cohen":
La dimostrazione utilizza il teorema di Alaoglu, cioè il fatto che la palla unitaria nel duale è compatta per la topologia debole *, in particolare che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è compatta nella topologia \(\displaystyle \sigma(L^\infty,L^1) \). Per questo motivo prendo una successione in \(\displaystyle B_{L^\infty} \) e ne estraggo una sottosuccessione convergente.
Il mio problema inizia qui perché sugli appunti trovo scritto che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) con la topologia debole * non è metrizzabile e quindi non riesco a estrarre una sottosuccessione, mentre Brezis e il buonsenso mi dicono che \(\displaystyle B_{L^\infty} \) è metrizzabile, infatti \(\displaystyle L^\infty \) è il duale di \(\displaystyle L^1 \) che è separabile (e c'è un teorema che mi dice che la palla unitaria del duale è metrizzabile se e solo se lo spazio è separabile).
Ma appunto, quello che scrivi - suggerimento del buon senso e di Brezis - è corretto, come già ti dicevo ieri:
"Paolo90":
[...] stante la separabilità di $L^1$, certamente la palla unitaria in $L^{\infty}$ con la weak star è metrizzabile, quindi compattezza sse compattezza sequenziale.
In altre parole, la palla è weakly star compatta (Alaoglu) e in più è metrizzabile (teorema che citi): ma in un metrico, la compattezza (ogni ricoprimento aperto ha sottoricoprimento finito) e la compattezza per sequenze (ogni sequenza ha estratta convergente) coincidono. Qui, se ne hai bisogno, dalla tua successione nella palla unitaria puoi benissimo estrarre una sottosuccessione (debolmente star) convergente.
Spero di non aver detto corbellerie.
Ok grazie mille!
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