Spazio di banach separabile: operatore isometrico
Sia $(X,||.||)$ uno spazio di Banach separabile, mostrare che esiste un operatore lineare isometrico $T:X->l^oo$ ($l^oo$ è lo spazio delle successioni limitate).
$X$ è isometrico e isomorfo ad un sottospazio chiuso di $l^oo$?
Allora dobbiamo cercare di scrivere questo operatore lineare.. Ma come?
Innanzitutto deve valere $||Tx||=||x||$ per ogni $x\in X$ affinché sia isometrico, ma quello che non riesco a capire è come associare ad un elemento di uno spazio di cui non sappiamo nulla una successione...
Il fatto che sia separabile deve in qualche modo aiutare... ho quindi pensato al teorema di Hahn-Banach, però rimango con dei grossi dubbi.
$X$ è isometrico e isomorfo ad un sottospazio chiuso di $l^oo$?
Allora dobbiamo cercare di scrivere questo operatore lineare.. Ma come?
Innanzitutto deve valere $||Tx||=||x||$ per ogni $x\in X$ affinché sia isometrico, ma quello che non riesco a capire è come associare ad un elemento di uno spazio di cui non sappiamo nulla una successione...
Il fatto che sia separabile deve in qualche modo aiutare... ho quindi pensato al teorema di Hahn-Banach, però rimango con dei grossi dubbi.
Risposte
Non è che c'entra l'esistenza di una base di Schauder di $X$?
Grazie per il suggerimento, però credo che una base di Schauder non vada bene perché non tutti gli spazi separabili di Banach hanno una base di Schauder (è vero il viceversa, cioè se hanno una base di Schauder allora sono separabili). Però potrei usare una base di Galerkin, infatti in questo caso abbiamo che uno spazio di Banach è separabile se e solo se ha una base di Galerkin.
Def di base di Galerkin: $E={e_1,e_2,...}$ è detta base di Galerkin per uno spazio di Banach $(X,||.||)$ se ogni sottoinsieme finito di $E$ è linearmente indipendente e $X=\mbox{clos}_||.|| U_{i=1}^oo X_i$ (clos è la chiusura), con $X_i=span{e_1,...,e_i}={x\in X| x= sum_{k=1}^i\alpha_k e_k, \alpha_1,...,\alpha_i \in RR}$.
Allora potrei definire $T:X->l^oo$ con $Tx=(\alpha_i}$ che è banalmente lineare e ben definita.
Per provare che è un'isometria: $||Tx||_oo=\mbox{sup}_{i\in NN}|\alpha_i|$ deve essere uguale a $||x||_X=||sum_{k=1}^oo\alpha_k e_k||_X$, ma come?
Per il secondo quesito: $X$ è isomorfo ad un sottospazio chiuso di $l^oo$: io conosco due sottospazi chiusi di $l^oo$ che sono $c_0$ e $c$, l'insieme delle successioni infinitesime e delle successioni che hanno limite, rispettivamente.
Per l'iniettività credo non ci siano problemi nemmeno in $l^oo$, credo che il problema sia la suriettività che dovrebbe essere garantita invece in uno dei due sottospazi... ora ci rifletto un altro po'.
Def di base di Galerkin: $E={e_1,e_2,...}$ è detta base di Galerkin per uno spazio di Banach $(X,||.||)$ se ogni sottoinsieme finito di $E$ è linearmente indipendente e $X=\mbox{clos}_||.|| U_{i=1}^oo X_i$ (clos è la chiusura), con $X_i=span{e_1,...,e_i}={x\in X| x= sum_{k=1}^i\alpha_k e_k, \alpha_1,...,\alpha_i \in RR}$.
Allora potrei definire $T:X->l^oo$ con $Tx=(\alpha_i}$ che è banalmente lineare e ben definita.
Per provare che è un'isometria: $||Tx||_oo=\mbox{sup}_{i\in NN}|\alpha_i|$ deve essere uguale a $||x||_X=||sum_{k=1}^oo\alpha_k e_k||_X$, ma come?
Per il secondo quesito: $X$ è isomorfo ad un sottospazio chiuso di $l^oo$: io conosco due sottospazi chiusi di $l^oo$ che sono $c_0$ e $c$, l'insieme delle successioni infinitesime e delle successioni che hanno limite, rispettivamente.
Per l'iniettività credo non ci siano problemi nemmeno in $l^oo$, credo che il problema sia la suriettività che dovrebbe essere garantita invece in uno dei due sottospazi... ora ci rifletto un altro po'.
C'è una cosa che non capisco - per la verità in tutti questi problemi di analisi funzionale ho sempre l'impressione che qualcosa mi sfugga.
Comunque, se $X=RR^2$ con la norma euclidea, come diavolo si fà? Mi pare che sia necessario trovare un sottospazio di $l^\infty$ con le palle tonde.
Io francamente non lo vedo, e se non si capisce il caso elementare ...
Comunque, se $X=RR^2$ con la norma euclidea, come diavolo si fà? Mi pare che sia necessario trovare un sottospazio di $l^\infty$ con le palle tonde.
Io francamente non lo vedo, e se non si capisce il caso elementare ...
Grazie per la domanda... mi ha forse portato alla soluzione dell'esercizio!
$X$ è uno spazio numerabile di Banach perciò ammette una base di Galerkin, quindi ogni punto può essere scritto come: $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$. Allora definiamo $T:X->l^oo$ così: $Tx=||x||_X/||\alpha||_oo \alpha$, con $\alpha= (\alpha_i)_i$. $T$ è ben definita e lineare. Inoltre:$||Tx||_oo=\mbox{sup}_{i\in NN}||x||_X /||\alpha||_oo |\alpha_i|= ||x||_X /||\alpha||_oo \mbox{sup}_{i\in NN} |\alpha_i|=||x||_X /||\alpha||_oo ||\alpha||_oo =||x||_X$, quindi è isometrica.
Per quanto riguarda l'isometria con un sottospazio chiuso di $l^oo$: allora $T$ è iniettiva, ma non suriettiva in $l^oo$, però se consideriamo l'insieme $c_0$ allora mi pare che sia suriettiva (o sbaglio?): $AA (a_n) \in c_0$ ($lim a_n = 0$), $EE x\in X$ tale che $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$ con $(a_n) = (||x||_X/||\alpha||_oo \alpha_n)$ infatti $(a_n)$ sarà semplicemente un multiplo di $(\alpha_n)$. Quindi $T$ è biiettiva tra $X$ e $c_0$ inoltre: $||T^(-1)(a_n)||=||T^(-1)Tx||=||x||=||Tx||=||a_n||$ quindi $T^(-1)$ è limitata. Quindi T è un isomorfismo!
Ho dubbi solo sulla suriettività...
Per quanto riguarda l'esempio con $X=RR^2$ non saprei aiutarti per il semplice fatto che non saprei darti una base di Galerkin (ho solo la definizione, praticamente non abbiamo visto esempi).
$X$ è uno spazio numerabile di Banach perciò ammette una base di Galerkin, quindi ogni punto può essere scritto come: $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$. Allora definiamo $T:X->l^oo$ così: $Tx=||x||_X/||\alpha||_oo \alpha$, con $\alpha= (\alpha_i)_i$. $T$ è ben definita e lineare. Inoltre:$||Tx||_oo=\mbox{sup}_{i\in NN}||x||_X /||\alpha||_oo |\alpha_i|= ||x||_X /||\alpha||_oo \mbox{sup}_{i\in NN} |\alpha_i|=||x||_X /||\alpha||_oo ||\alpha||_oo =||x||_X$, quindi è isometrica.
Per quanto riguarda l'isometria con un sottospazio chiuso di $l^oo$: allora $T$ è iniettiva, ma non suriettiva in $l^oo$, però se consideriamo l'insieme $c_0$ allora mi pare che sia suriettiva (o sbaglio?): $AA (a_n) \in c_0$ ($lim a_n = 0$), $EE x\in X$ tale che $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$ con $(a_n) = (||x||_X/||\alpha||_oo \alpha_n)$ infatti $(a_n)$ sarà semplicemente un multiplo di $(\alpha_n)$. Quindi $T$ è biiettiva tra $X$ e $c_0$ inoltre: $||T^(-1)(a_n)||=||T^(-1)Tx||=||x||=||Tx||=||a_n||$ quindi $T^(-1)$ è limitata. Quindi T è un isomorfismo!
Ho dubbi solo sulla suriettività...
Per quanto riguarda l'esempio con $X=RR^2$ non saprei aiutarti per il semplice fatto che non saprei darti una base di Galerkin (ho solo la definizione, praticamente non abbiamo visto esempi).
"blunotte":
Grazie per la domanda... mi ha forse portato alla soluzione dell'esercizio!
$X$ è uno spazio numerabile di Banach perciò ammette una base di Galerkin, quindi ogni punto può essere scritto come: $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$. Allora definiamo $T:X->l^oo$ così: $Tx=||x||_X/||\alpha||_oo \alpha$, con $\alpha= (\alpha_i)_i$. $T$ è ben definita e lineare. Inoltre:$||Tx||_oo=\mbox{sup}_{i\in NN}||x||_X /||\alpha||_oo |\alpha_i|= ||x||_X /||\alpha||_oo \mbox{sup}_{i\in NN} |\alpha_i|=||x||_X /||\alpha||_oo ||\alpha||_oo =||x||_X$, quindi è isometrica.
Per quanto riguarda l'isometria con un sottospazio chiuso di $l^oo$: allora $T$ è iniettiva, ma non suriettiva in $l^oo$, però se consideriamo l'insieme $c_0$ allora mi pare che sia suriettiva (o sbaglio?): $AA (a_n) \in c_0$ ($lim a_n = 0$), $EE x\in X$ tale che $x=sum_{i=1}^oo \alpha_i e_i$ con $(a_n) = (||x||_X/||\alpha||_oo \alpha_n)$ infatti $(a_n)$ sarà semplicemente un multiplo di $(\alpha_n)$. Quindi $T$ è biiettiva tra $X$ e $c_0$ inoltre: $||T^(-1)(a_n)||=||T^(-1)Tx||=||x||=||Tx||=||a_n||$ quindi $T^(-1)$ è limitata. Quindi T è un isomorfismo!
Ho dubbi solo sulla suriettività...
Per quanto riguarda l'esempio con $X=RR^2$ non saprei aiutarti per il semplice fatto che non saprei darti una base di Galerkin (ho solo la definizione, praticamente non abbiamo visto esempi).
Sono contento se ti ho aiutato. Non ho letto i dettagli della tua costruzione, ma stasera ci darò un'occhiata perchè la cosa mi incuriosisce.
Però permettimi di rimanere un po' di sasso
di fronte alla tua affermazione sul caso di $RR^2$ - io direi che nel caso di dimensione finitatutte queste nozioni di base dovrebbero coincidere con la nozione algebrica e quindi due arbitrari vettori indipendenti di $RR^2$ dovrebbero
costituire una base di Galerkin/Schauder (altrimenti che ce ne facciamo di tutte queste nozioni
).Cosa dà la tua costruzione in questo caso ?
Come scrivevo sopra sono colpito dal fatto che in questo modo si trova un sottospazio (bidimensionale) di $l^\infty$ in cui la norma è
differenziabile - almeno così mi sembra.
Comunque ci devo riflettere.
Ho dato un occhiata a quanto hai scritto e ho alcune osservazioni (una cattiva e una buona...):
1) ho l'impressione che tu dia per scontato che ogni $x$ si scriva in modo unico come $\sum a_j e_j$,
(altrimenti come definisci $Tx$ ?)
Credo che questo sia esattamente chiedere che $(e_j)$ sia una base di Schauder.
Non mi pare neanche ovvia la linearità, data la forma di $T$ (è verò che è un'isometria, ma poi ??).
2) Non credo proprio che l'immagine di $T$ sia $c_0$, ma cosa te ne importa? L'immagine isometrica di uno spazio di Banach
è sicuramente chiusa:
se $Tx_n:=y_n\to y \Rightarrow (y_n)$ è di Cauchy $\Rightarrow (x_n)$ è di Cauchy $\Rightarrow x_n\to x \Rightarrow Tx_n\to Tx \Rightarrow y=Tx$
1) ho l'impressione che tu dia per scontato che ogni $x$ si scriva in modo unico come $\sum a_j e_j$,
(altrimenti come definisci $Tx$ ?)
Credo che questo sia esattamente chiedere che $(e_j)$ sia una base di Schauder.
Non mi pare neanche ovvia la linearità, data la forma di $T$ (è verò che è un'isometria, ma poi ??).
2) Non credo proprio che l'immagine di $T$ sia $c_0$, ma cosa te ne importa? L'immagine isometrica di uno spazio di Banach
è sicuramente chiusa:
se $Tx_n:=y_n\to y \Rightarrow (y_n)$ è di Cauchy $\Rightarrow (x_n)$ è di Cauchy $\Rightarrow x_n\to x \Rightarrow Tx_n\to Tx \Rightarrow y=Tx$
1) Ho effettivamente dato per scontato che ogni $x\inX$ si scriva in un unico modo come $sum\alpha_i e_i$... Come già ti ho detto queste basi sono state definite e trattate velocemente... però so che la base di Galerkin è una vera e propria base perciò (dalla definizione stessa di base) ogni elemento si scrive in modo univoco rispetto ai suoi vettori.
Devo effettivamente riguardare la linearità di $T$
2)Ora ci penso...
Devo effettivamente riguardare la linearità di $T$
2)Ora ci penso...
Non ho resistito e sono andato a cercare in un libro di Analisi funzionale. Si dovrebbe fare così (è piuttosto diverso
da ciò che tentavamo di fare e anche se $X=RR^2$ non si vede assolutamente come è fatta $T$
)
da ciò che tentavamo di fare e anche se $X=RR^2$ non si vede assolutamente come è fatta $T$
)
Aiuto... che cos'è una successione densa e come si applica il teorema di hahn banach in questo caso?
Puoi riportarmi anche le note, così da avere un quadro completo? Grazie :)
Puoi riportarmi anche le note, così da avere un quadro completo? Grazie :)
"blunotte":
Aiuto... che cos'è una successione densa e come si applica il teorema di hahn banach in questo caso?
Successione densa= insieme numerabile denso (che definizione di separabile hai??)
Una delle conseguenze di Hahn Banach dice che preso un $x$ in $X$ esiste un funzionale $x^\star$ in $X^\star$ (=duale di $X$) tale che
$||x^\star||=1$ e $x^\star(x)=||x||$ - non ce l'hai questa?
"ViciousGoblinEnters":
Successione densa= insieme numerabile denso (che definizione di separabile hai??)
Uno spazio è separabile se ha un sottoinsieme numerabile denso. Ma una successione densa che cos'é?
"ViciousGoblinEnters":
Una delle conseguenze di Hahn Banach dice che preso un $x$ in $X$ esiste un funzionale $x^\star$ in $X^\star$ (=duale di $X$) tale che
$||x^\star||=1$ e $x^\star(x)=||x||$ - non ce l'hai questa?
Scusami a dire il vero non avevo nemmeno finito di leggere il post di prima perché davo per scontato che coinvolgesse le successioni dense (ancora non avevo preso il caffè
)... Questo corollario ovviamente lo conosco!
"blunotte":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Successione densa= insieme numerabile denso (che definizione di separabile hai??)
Uno spazio è separabile se ha un sottoinsieme numerabile denso. Ma una successione densa che cos'é?[/quote]
Beh, una successione densa è per l'appunto un insieme numerabile (quindi ordinabile ed ordinato in successione) denso nello spazio ambiente.
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