Spazio connesso

[qwerty901]

Salve!
Guardando gli appunti di calcolo II sto notando che il nostro professore da un sistema di funzioni, tracciandone il grafico, notava le "parti" che rappresentavano un insieme connesso.
Ora io non ho capito minimamente come ha fatto. Mi potete dire in linee generali come si determina se una parte di piano è connesso oppure no?
Lui ci ha dato la spiegazione di connesso per archi( prendo da wikipedia):
Uno spazio topologico X è connesso per archi se per ogni coppia di punti x e y dello spazio esiste un arco che li collega.
Come attuo tale definizione nei grafici?
Grazie

[Luc@s]

sè l'insieme definito ha "buchi" allora non è connesso ma può avere componenti connesse.
Pensa, in analogia, alla convessità se ti aiuta..
E' utile pensare un po la cosa: in $RR$ cosa sono i connessi, per esempio?


A livello grafico e intutivo:



Il verde è connesso, i viola no...perchè?

[qwerty901]

"Luc@s":
Il verde è connesso, i viola no...perchè?

Perchè il verde è tutto d'un pezzo i viola no.

[Luc@s]

e quindi essendo "un solo pezzo" puoi metterci tutti gli archi che vuoi all'interno che hanno come estremi due suoi punti.
E quindi è connesso. Se ci fosse un buco (non fosse definito per un punto) sarebbe non sarebbe connesso.

[qwerty901]

"Luc@s":e quindi essendo "un solo pezzo" puoi metterci tutti gli archi che vuoi all'interno che hanno come estremi due suoi punti.
E quindi è connesso. Se ci fosse un buco (non fosse definito per un punto) sarebbe non sarebbe connesso.

Mmm veramente io so che se c'è un buco non è semplicemente connesso.
Comunque il punto è come utilizzare questo concetto nei grafici di funzioni. Cioè si può applicare al dominio, no?

[Luc@s]

di solito si guarda in che modo è definito per capire se è connesso, o almeno nel mio compito di geometria I feci così.
Dalle dis/equazioni di definizione si capiva.

[qwerty901]

"Luc@s":di solito si guarda in che modo è definito per capire se è connesso, o almeno nel mio compito di geometria I feci così.
Dalle dis/equazioni di definizione si capiva.

Potresti farmi gentilmente un esempio o darmi dei link dove ce ne sia qualcuno?

[Luc@s]

Per la teoria qui: http://www.arrigoamadori.com/lezioni/St ... ssione.htm e qui http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... connes.htm

Il primo è molto breve ma ben fatto.
Il secondo, molto utile, con anche esempi ed esercizi risolti.

[qwerty901]

"Luc@s":Per la teoria qui: http://www.arrigoamadori.com/lezioni/St ... ssione.htm e qui http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... connes.htm

Il primo è molto breve ma ben fatto.
Il secondo, molto utile, con anche esempi ed esercizi risolti.

Grazie 1000. Ottimi link!

[qwerty901]

Ritorno a questa domanda con un quesito:
Se io ho la funzione :
$f(x,y) = frac{log(3-x-y)}{sqrt(xy-1)}$
studiando il dominio ottengo il grafico:

Come faccio a determinare se è uno spazio connesso o meno?
Ho un pò di confusione

P.S.: imageshack non funziona, sapete il motivo?

[Mathcrazy]

"Luc@s":e quindi essendo "un solo pezzo" puoi metterci tutti gli archi che vuoi all'interno che hanno come estremi due suoi punti.
E quindi è connesso. Se ci fosse un buco (non fosse definito per un punto) sarebbe non sarebbe connesso.

Luc@s, non è molto corretto ciò che dici.
In base a quello che hai detto, (l'esempio del buco!) , anche una corona circolare non sarebbe un insieme connesso; invece è connesso, mentre non è semplicemente connesso... cioè l'idea che hai proposto dei buchi può trarre in inganno!

Pensala così: un insieme si dice connesso se non può essere visto come unione di due insiemi aperti non vuoti e disgiunti.

[gugo82]

Detto in maniera intuitiva, un insieme è connesso se "è fatto di un solo pezzo".