Spazio compatto

[stelladinatale1]

Se considero $W$ uno spazio metrico compatto e $S$ uno spazio numerabile, allora lo spazio $W^S$ (con la topologia prodotto) è ancora uno spazio metrico compatto?
Grazie a tutti

[vict85]

\(S\) ha la topologia discreta?

[stelladinatale1]

Non è specificato, quindi penso di poter prendere $S$ anche con la topologia discreta....

[vict85]

La topologia è importante ai fini della risposta. Comunque direi che non è necessariamente né l'uno né l'altro.

[stelladinatale1]

Quindi nessuna topologia per $S$ mi garantisce automaticamente che $W^S$ è uno spazio compatto?

[vict85]

"stelladinatale":Quindi nessuna topologia per $S$ mi garantisce automaticamente che $W^S$ è uno spazio compatto?

Se \(S\) possiede la topologia banale allora \(W\times S\) (preferisco scrivere i prodotti in termini di prodotto cartesiano piuttosto che in termini di funzioni) è banalmente compatto, ma non è metrico. Viceversa se \(S\) ha la topologia discreta allora \(W\times S\) è metrizzabile ma non compatto. Un caso in cui è entrambi è se \(S\) è l'insieme \(\displaystyle \{0\}\cup \{ n^{-1}\in \mathbb{R} : n \in \mathbb{N} \} \) con la topologia indotta da quella di \(\mathbb{R}\). \(S\) è banalmente metrico (il prodotto di due spazi metrici può ereditare le due metrice in vari modi) ed inoltre è compatto essendo chiuso e limitato in uno spazio di Haussdorf.

EDIT: Un caso in cui non è nessuna delle due è data dalla topologia data dagli aperti \(\displaystyle S, \emptyset, \{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \dotsc \)