Spazi vettoriali normati
Dato un generico spazio vettoriale, è sempre possibile definire in esso una norma?
In caso contrario, quali sono dei controesempi?
In caso contrario, quali sono dei controesempi?
Risposte
bella domanda...
direi che sui numeri iperreali non esistono norme.. forse neanche su spazi su campi finiti.. ma non sono sicurissimo
direi che sui numeri iperreali non esistono norme.. forse neanche su spazi su campi finiti.. ma non sono sicurissimo
Ma se lo spazio non è reale o complesso, in che senso si può parlare di norma?
"dissonance":
Ma se lo spazio non è reale o complesso, in che senso si può parlare di norma?
era proprio quello che pensavo quando proponevo l'esempio dei campi finiti. Tuttavia non sono sicurissimo, perchè sono convinto che qualche matto in giro che ha modificato leggermente il concetto di norma per farlo funzionare anche in quel caso c'è. D'altra parte le tre proprietà di norma non richiedono che ci sia $\RR$ o $\CC$..
Invece ci sta un teorema che dice che sugli iperreali (che sono un campo su $\RR$ fra l'altro!) non ci sono norme che verificano proprietà di comptaibilità con l'ordinamento (non so se ci sono norme stranissime, di cui a nessuno interessa l'esistenza).
E' chiaro che per porsi il problema bisogna avere a che fare con uno spazio vettoriale (si $CC$ o su $RR$) TOPOLOGICO - in cui cioe' sia data una topologia
compatibile con le operazioni definite sullo spazio. A questo punto ha senso chiedersi se esiste una norma che induce tale topologia.
In effetti la risposta e' NO . per esempio in uno spazio di dimensione infinita la topologia debole non e' ricavabile da una norma (lascio a quelli che hanno studiato analisi funzionale
piu' recentemente di me l'onere di spiegare perche'
)
EDIT forse "E' chiaro" non e' poi cosi' chiaro - se la domanda e' "dato uno spazio vettoriale algebrico- posso metterci sopra una norma?" Ho l'impressione di si' (prendendo una base e definendo
addirittura un prodotto scalare in modo che la base risulti ortonormale) - ma bisognerebbe controllare.
compatibile con le operazioni definite sullo spazio. A questo punto ha senso chiedersi se esiste una norma che induce tale topologia.
In effetti la risposta e' NO . per esempio in uno spazio di dimensione infinita la topologia debole non e' ricavabile da una norma (lascio a quelli che hanno studiato analisi funzionale
piu' recentemente di me l'onere di spiegare perche'
)EDIT forse "E' chiaro" non e' poi cosi' chiaro - se la domanda e' "dato uno spazio vettoriale algebrico- posso metterci sopra una norma?" Ho l'impressione di si' (prendendo una base e definendo
addirittura un prodotto scalare in modo che la base risulti ortonormale) - ma bisognerebbe controllare.
non sono d'accordo con l'interpretazione del problema di ViciousGoblin: dire che "non esiste neanche una norma" è diverso dal dire che "esiste una topologia non indotta da norme". Ad esempio in uno spazio diBanach la topologia debole in genere non è normabile, ma ciò non toglie che abbiamo la nostra bella topologia di partenza che lo è.
Effettivamente il problema non è banale, mi trovo più d'accordo con ubermensch, non vedo perchè si debba prendere per forza uno spazio topologico. La domanda è: dato uno spazio vettoriale (cominciamo a metterlo su $\CC$ o su $\RR$) esiste sempre una funzione che verifica le proprietà di norma? Come osservava ubermensch la topologia debole non è del tutto corretto come controesempio, proprio perchè presuppone che ci sia la norma forte sotto...
Dovete darmi atto che mi ero accorto della possibile obiezione e come ho aggiunto in coda al mio messaggio ritengo allora, che se si parte da uno spazio vettoriale algebrico si possa prendere una base
$(e_i)_{i\in I}$ e definire un prodotto scalare ponendo $:=\delta_{i,j}$ ed estendendo per linearita' - ho l'impressione che tutto venga.
$(e_i)_{i\in I}$ e definire un prodotto scalare ponendo $
Sì, hai ragione. Quindi ogni spazio vettoriale può essere dotato del prodotto scalare canonico anche se la base algebrica è non numerabile? A occhio sembra anche a me che funzioni, ma va controllato.
Allora, se ben ricordo, su *$\RR$ (numeri iperreali) non esistono funzioni $f$ tali che
1) verificano le proprietà di norma
2) compatibili con l'ordine, nel senso che dati $0
Questo fondamentalmente perchè le proprietà 1 e 3 implicano che $Im(f)$ è un sottogruppo denso di $\RR$, il che contrasta con la 2)
1) verificano le proprietà di norma
2) compatibili con l'ordine, nel senso che dati $0
Questo fondamentalmente perchè le proprietà 1 e 3 implicano che $Im(f)$ è un sottogruppo denso di $\RR$, il che contrasta con la 2)
ah.. leggo ora gli ultimi due messaggi. Si anche a me sembra che funzioni..
siamo in grado allora di concludere che esiste sempre un prodotto scalare, ma che in alcuni casi non è buono?
siamo in grado allora di concludere che esiste sempre un prodotto scalare, ma che in alcuni casi non è buono?
"Luca.Lussardi":
Sì, hai ragione. Quindi ogni spazio vettoriale può essere dotato del prodotto scalare canonico anche se la base algebrica è non numerabile? A occhio sembra anche a me che funzioni, ma va controllato.
Dato che ogni $x$ dello spazio $X$ si scrive in maniera unica come $x=\sum_{i\in I}x_i e_i$ dove $x_i=0$ eccetto che per un numero finito di $i$ mi pare facile verificare che
$b(x,y):=\sum_{i,j\in I}x_i y_j$ e' :
- ben definito in quanto si riduce alla somma di un numero finito di addendi;
- bilineare
- positivo: $b(x,x)=\sum_{i\in I}x_i^2 \geq0$
e questo mi pare che basti.
D'altra parte gli spazi di Hilbert non separabili esistono ...
Sugli iperreali non so, Avrei detto che per parlare di norma il campo dei coefficienti deve avere un "valore assoluto" di suo per poter dire
$||\lambda x||=|\lambda| ||x||$
ma forse si intende che $|lambda|$ possa anche essere un infinito ?
@ubermensh potresti chiarire cosa intendi con "$f$ verifica le proprieta' della norma" ?
Poi chissa' cosa voleva Kroldar ....
significa $Im(f)$ è un insieme (o è semplicemente contenuto in un insieme) in cui c'è lo $0$, c'è la somma e c'è un ordinamento (ad esempio un semigruppo ordinato) e $f$ verifica le seguenti proprietà
$f(x)\geq0$ e vale l'uguale se e solo se $x=0$
$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$
$f(\lambda x)=|\lambda|f(x)$
Ricorda che gli iperreali sono uno spazio vettoriale sopra $\RR$ e quindi $|\lambda|$ è ben definito.
$f(x)\geq0$ e vale l'uguale se e solo se $x=0$
$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$
$f(\lambda x)=|\lambda|f(x)$
Ricorda che gli iperreali sono uno spazio vettoriale sopra $\RR$ e quindi $|\lambda|$ è ben definito.
"ubermensch":
significa $Im(f)$ è un insieme (o è semplicemente contenuto in un insieme) in cui c'è lo $0$, c'è la somma e c'è un ordinamento (ad esempio un semigruppo ordinato) e $f$ verifica le seguenti proprietà
$f(x)\geq0$ e vale l'uguale se e solo se $x=0$
$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$
$f(\lambda x)=|\lambda|f(x)$
Ricorda che gli iperreali sono uno spazio vettoriale sopra $\RR$ e quindi $|\lambda|$ è ben definito.
Ah scusa - credevo che volessi prendere gli iperreali come campo degli scalari- considerare cioe' uno spazio vettoriale sugli iperreali.
Detto cosi' invece ricade nei discorsi precedenti.
si.. è un esempio in cui metriche esistono, come hai giustamente mostrato, ma non sono buone, nel senso che non rispettano l'ordinamento.
"ubermensch":
si.. è un esempio in cui metriche esistono, come hai giustamente mostrato, ma non sono buone, nel senso che non rispettano l'ordinamento.
Ho capito cosa vuoi dire (alla fine ... scusa) - In effetti prendere una norma giusto per il gusto di prenderla alla fine serve a ben poco, se poi non va d'accordo con nulla.
Alla prossima
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