Spazi vettoriali dimensione infinita e serie di Fourier
Salve,
sto studiando gli spazi vettoriali di dimensione finita dal Kolmogorov (in dettaglio pag. 148) e non riesco a capacitarmi del perché della seguente:
ho uno spazio vettoriale di dimensione infinita euclideo \(L\), ho un vettore \(f\) dello spazio \(L\), suppongo di avere una base ortonormale \(\varphi_{k}\), definisco i coefficienti di Fourier mediante prodotto scalare \(c_{k}=(f,\varphi_{k})\), perché la serie \(c_{k}\varphi^{k}\) non dovrebbe convergere ad \(f\)?
Comprendo che è una serie infinita ma è stata definita secondo un procedimento che intuitivamente (e qui chiaramente mi sbaglio) dovrebbe fornire il vettore \(f\). C'è sicuramente del "grosso" che mi sfugge.
Grazie a chiunque mi aiuti!
sto studiando gli spazi vettoriali di dimensione finita dal Kolmogorov (in dettaglio pag. 148) e non riesco a capacitarmi del perché della seguente:
ho uno spazio vettoriale di dimensione infinita euclideo \(L\), ho un vettore \(f\) dello spazio \(L\), suppongo di avere una base ortonormale \(\varphi_{k}\), definisco i coefficienti di Fourier mediante prodotto scalare \(c_{k}=(f,\varphi_{k})\), perché la serie \(c_{k}\varphi^{k}\) non dovrebbe convergere ad \(f\)?
Comprendo che è una serie infinita ma è stata definita secondo un procedimento che intuitivamente (e qui chiaramente mi sbaglio) dovrebbe fornire il vettore \(f\). C'è sicuramente del "grosso" che mi sfugge.
Grazie a chiunque mi aiuti!
Risposte
Che una serie di funzioni ricavata da una funzione assegnata non converga verso tale funzione non è una cosa che dovrebbe stupirti.
Infatti, ciò già accade con la più familiare serie di Taylor: ad esempio la serie di Taylor della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} e^{-1/x^2} &\text{, se } x>0\\
0 &\text{, se } x\leq 0
\end{cases}
\]
(la quale è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\)) centrata in \(0\) è la serie nulla poiché, risultando:
\[
f^{(n)}(0)=0
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\), i coefficienti di Taylor sono tutti nulli. Quindi la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(0\) converge verso la funzione identicamente nulla, che è una funzione ben diversa dalla \(f\).
Per le serie di Fourier il discorso è un po' diverso e bisogna che tu chiarisca, innanzitutto, quale tipo di convergenza ti interessa.
Se ragioni in astratto, ossia se sei interessato alla convergenza in norma in \(L\), se hai completezza del sistema ortonormale \(\{\phi_k\}\), allora hai convergenza in norma quanta ne vuoi... Quindi, se ti limiti alla convergenza in norma, non ci sono problemi fintantoché il tuo sistema ortonormale è completo (ovverosia chiuso) in \(L\).
Le cose cambiano se passi a casi concreti, e.g. a funzioni di \(L^2(a,b)\). In tal caso, infatti, oltre alla convergenza in norma (per la quale funziona tutto bene), potresti essere interessato ad un qualsiasi altro tipo di convergenza "interessante" per funzioni misurabili (i.e., puntuale, puntuale q.o., in misura, uniforme, quasi-uniforme, etc...). In tal caso, devi tener presente che le serie di Fourier si comportano abbastanza male: ad esempio, esistono funzioni di \(L^2\) che hanno s.d.F. divergenti ovunque (a tal proposito, esiste un classico esempio di Kolmogorov del 1926). Tuttavia, un noto teorema di Carleson assicura che esiste una vasta sottoclasse di funzioni di \(L^2\), comprendente le funzioni continue, le cui s.d.F. convergono q.o. in senso puntuale verso la loro somma "naturale".
Infatti, ciò già accade con la più familiare serie di Taylor: ad esempio la serie di Taylor della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} e^{-1/x^2} &\text{, se } x>0\\
0 &\text{, se } x\leq 0
\end{cases}
\]
(la quale è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\)) centrata in \(0\) è la serie nulla poiché, risultando:
\[
f^{(n)}(0)=0
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\), i coefficienti di Taylor sono tutti nulli. Quindi la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(0\) converge verso la funzione identicamente nulla, che è una funzione ben diversa dalla \(f\).
Per le serie di Fourier il discorso è un po' diverso e bisogna che tu chiarisca, innanzitutto, quale tipo di convergenza ti interessa.
Se ragioni in astratto, ossia se sei interessato alla convergenza in norma in \(L\), se hai completezza del sistema ortonormale \(\{\phi_k\}\), allora hai convergenza in norma quanta ne vuoi... Quindi, se ti limiti alla convergenza in norma, non ci sono problemi fintantoché il tuo sistema ortonormale è completo (ovverosia chiuso) in \(L\).
Le cose cambiano se passi a casi concreti, e.g. a funzioni di \(L^2(a,b)\). In tal caso, infatti, oltre alla convergenza in norma (per la quale funziona tutto bene), potresti essere interessato ad un qualsiasi altro tipo di convergenza "interessante" per funzioni misurabili (i.e., puntuale, puntuale q.o., in misura, uniforme, quasi-uniforme, etc...). In tal caso, devi tener presente che le serie di Fourier si comportano abbastanza male: ad esempio, esistono funzioni di \(L^2\) che hanno s.d.F. divergenti ovunque (a tal proposito, esiste un classico esempio di Kolmogorov del 1926). Tuttavia, un noto teorema di Carleson assicura che esiste una vasta sottoclasse di funzioni di \(L^2\), comprendente le funzioni continue, le cui s.d.F. convergono q.o. in senso puntuale verso la loro somma "naturale".
Grazie mille 
Ero interessato alla convergenza in norma. Credo che la ragione della mia confusione era dovuta all'esposizione del Kolmogorov (tradotto in italiano) o alla mia incapacità di studiarlo.
Correggimi se sbaglio:
Come dici tu: se il sistema è chiuso la convergenza in norma è assicurata. Dunque, data una base in uno spazio vettoriale non ha senso andarsi a chiedere se converge la serie di Fourier rispetto tale base. Piuttosto ha senso chiedersi se c'è una condizione che mi garantisca la chiusura di un dato sistema di vettori in tale spazio.
[ot]Ti sei laureto a Napoli? Posso disturbarti con qualche messaggio privato?[/ot]
Ero interessato alla convergenza in norma. Credo che la ragione della mia confusione era dovuta all'esposizione del Kolmogorov (tradotto in italiano) o alla mia incapacità di studiarlo.
Correggimi se sbaglio:
Come dici tu: se il sistema è chiuso la convergenza in norma è assicurata. Dunque, data una base in uno spazio vettoriale non ha senso andarsi a chiedere se converge la serie di Fourier rispetto tale base. Piuttosto ha senso chiedersi se c'è una condizione che mi garantisca la chiusura di un dato sistema di vettori in tale spazio.
[ot]Ti sei laureto a Napoli? Posso disturbarti con qualche messaggio privato?[/ot]
"dknew":
Ero interessato alla convergenza in norma. Credo che la ragione della mia confusione era dovuta all'esposizione del Kolmogorov (tradotto in italiano) o alla mia incapacità di studiarlo.
Non credo che le cause siano quelle che citi.
Piuttosto, forse, manca una visione d'insieme delle varie problematiche legate all'interazione dei vari modi di convergenza per funzioni reali misurabili.
"dknew":
Correggimi se sbaglio:
Come dici tu: se il sistema è chiuso la convergenza in norma è assicurata. Dunque, data una base in uno spazio vettoriale non ha senso andarsi a chiedere se converge la serie di Fourier rispetto tale base. Piuttosto ha senso chiedersi se c'è una condizione che mi garantisca la chiusura di un dato sistema di vettori in tale spazio.
Esatto.
La condizione per la chiusura classica (e "astratta", in un certo senso) è che non esistano elementi diversi dal vettore nullo che siano ortogonali contemporaneamente a tutti gli elementi del sistema ortonormale. Tuttavia, ci sono molte altre caratterizzazioni equivalenti della proprietà di chiusura che si incontrano in spazi funzionali concreti, come \(L^2\) (e.g., questo esercizio che ho proposto tempo fa).
"dknew":[quote=dknew]
[ot]Ti sei laureto a Napoli? Posso disturbarti con qualche messaggio privato?[/ot]
Certo.
Innanzitutto grazie!
Cosa mi consigli di studiare?
Sto preparando un esame di metodi matematici della fisica, purtroppo il programma tocca un pozzo di matematica e sto cercando di farmi un'idea generale di tutti concetti senza perdere troppo di vista l'obiettivo esame. Purtroppo volendo capire e studiare per bene tutta la matematica che c'è dietro questo esame mi ci vorrebbero diversi mesi.
Ho sfogliato il Rudin, il Royden di cui apprezzo il tentativo di semplificare le cose ma devo fare uno sforzo notevole di sintesi. Ho trovato che il Kolmogorov, nonostante sia ovunque denso di definizioni riesce a dare una discreta visione dell'argomento in maniera formale ed abbastanza accurata. Mi sto poi affidando alle dispense di Zanghì, Bramanti ed Acquistapace per entrare nell'ottica degli argomenti.
Non credo che le cause siano quelle che citi.
Piuttosto, forse, manca una visione d'insieme delle varie problematiche legate all'interazione dei vari modi di convergenza per funzioni reali misurabili.
Cosa mi consigli di studiare?
Sto preparando un esame di metodi matematici della fisica, purtroppo il programma tocca un pozzo di matematica e sto cercando di farmi un'idea generale di tutti concetti senza perdere troppo di vista l'obiettivo esame. Purtroppo volendo capire e studiare per bene tutta la matematica che c'è dietro questo esame mi ci vorrebbero diversi mesi.
Ho sfogliato il Rudin, il Royden di cui apprezzo il tentativo di semplificare le cose ma devo fare uno sforzo notevole di sintesi. Ho trovato che il Kolmogorov, nonostante sia ovunque denso di definizioni riesce a dare una discreta visione dell'argomento in maniera formale ed abbastanza accurata. Mi sto poi affidando alle dispense di Zanghì, Bramanti ed Acquistapace per entrare nell'ottica degli argomenti.
Senza conoscere il programma nel dettaglio è un po' difficile consigliarti.
Ad ogni modo, il Kolmogorov-Fomin è un ottimo testo, ancorché un po' datato; il Royden pure è buono, così come il Folland, Real Analysis; i testi di Rudin lasciali proprio perdere (troppo sintetici, ci butti il sangue).
Le dispense di Acquistapace pure sono buone, in generale, ma non le conosco di prima mano.
Trova il testo che più ti si confà e segui quello; non ti disperdere su duemila riferimenti, altrimenti non ne esci più.
Ad ogni modo, il Kolmogorov-Fomin è un ottimo testo, ancorché un po' datato; il Royden pure è buono, così come il Folland, Real Analysis; i testi di Rudin lasciali proprio perdere (troppo sintetici, ci butti il sangue).
Le dispense di Acquistapace pure sono buone, in generale, ma non le conosco di prima mano.
Trova il testo che più ti si confà e segui quello; non ti disperdere su duemila riferimenti, altrimenti non ne esci più.
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