Spazi normati finito dimensionali sono completi

[Augosoma]

Ciao,
anche qui devo dimostrare il teorema del titolo. Per gli stessi motivi di prima scrivo la dimostrazione che ho trovato spero; chiedo conferme a voi della sua esattezza.

Dobbiamo dimostrare che ogni successione di cauchy converge in $(\mathcal{V},||\cdot||)$:
Sia ${x_n}\subset\mathcal{V}$ la nostra successione $\forall\epsilon>0\exists\bar{n}:\quad\forall n,m\geq\bar{n}\quad||x_n-x_m||<\epsilon\quad(1)$
$\epsilon>||x_n-x_m||\geq | (||x_n||-||x_m||) | $ quindi ${||x_n||}$ è una successione di cauchy in $[0,+\infty)$, allora convergerà ad un valore $M\in[0,+\infty)$
Ora consideriamo $\mathcal{B}:=(x\in\mathcal{V}:\quad M-\epsilon\leq ||x||\leq m+\epsilon)$ che è compatto perchè lo spazio è finito dimensionale, siccome ${x_n}$ è definitivamente in $\mathcal{B}$ compatto allora possiamo estrarre una sottosuccessione convergente $x_{n_j}\to\bar{x}$, allora inserendo questa sottosuccessione in $(1)$ otteniamo la tesi.

[dissonance]

Anche qui, come nell'altro post sull'equivalenza delle norme, stai usando il fatto che le palle chiuse e limitate sono compatte. Il che è certamente vero ma per me dovresti dimostrarlo.