Spazi normati (domanda elementare)

[amel3]

Scusate, oggi sono particolarmente stordito...
Volevo chiedervi conferme o smentite su questo risultato banale. Mi chiedo se:

Sia $X$ spazio normato e siano $V$ e $W$ due sottospazi vettoriali; allora:
$X=\bar{V+W}=\bar{V}+\bar{W}$

Io penso di sì perchè direi che:
- se $z \in \bar{V}+\bar{W}$, allora $z=v+w$ (con $v \in \bar{V}$ e $w \in \bar{W}$) e quindi $z \in \bar{V+W}$ (perchè $v+w \in \bar{V+W}$);
- se $z \in \bar{V+W}$, allora $z=\lim_{n->oo} z_n$, con $(z_n) \sube V+W$, e quindi (esiste una successione $(z_n)=(v_n + w_n)$ che tende però anche a $v+w$ e allora per unicità del limite) $z=v+w$, cioè $z \in \bar{V}+\bar{W}$.

Grazie in anticipo e scusate se ho scritto scempiaggini.
Ciao.

[dissonance]

Ciao amel, mi dispiace che con questo intervento non farò altro che aumentare i tuoi dubbi.
Ho una specie di campanello d'allarme a dire che la proposizione è falsa. Infatti se fosse vera avresti come risultato collaterale che la somma di due sottospazi chiusi è un sottospazio chiuso. E questo non saprei dirti se è vero o no. Sicuramente sarà vero se la somma è diretta topologica (nel senso che i proiettori sono continui). Sul Brezis c'è scritto qualcosa a riguardo, ne sono sicuro, più tardi dò una occhiata.

[dissonance]

(Non ho resistito e ho guardato subito).
Dunque, leggo a pagina 38 del Brezis:

Teorema II.15 Siano $G, L$ due sottospazi chiusi di $X$. Le seguenti proprietà sono equivalenti:
a) $G+L$ è chiuso in $X$;
b) $G^bot+L^bot$ è chiuso in $X'$;
c) $G+L=(G^botnnL^bot)^bot$;
d) $G^bot+L^bot=(GnnL)^bot$.

(lui indica con $G^bot$ l'ortogonale di $G$, ovvero lo spazio delle forme lineari che si annullano in $G$ se $G\subX$, oppure lo spazio dei vettori che annullano le forme lineari di $G$ se $G\subX'$).
Presumo quindi che non sia sempre vero che $G+L$ è chiuso in $X$. Ho cercato un po' ma non ho trovato un esempio, e ovviamente non mi viene in mente niente.

[amel3]

Ciao, grazie della risposta, anch'io ho cercato in lungo e in largo e non ho trovato nulla di diretto su questo fatto... però sospettavo che la questione che pongo sia falsa, è per questo che ho posto qui questa curiosità. Non riesco a trovare però l'idiozia che ho scritto che falsa tutto quanto...

[dissonance]

Ti dò la mia opinione, ma prendila col beneficio del dubbio.

- se $z \in \bar{V+W}$, allora $z=\lim_{n->oo} z_n$, con $(z_n) \sube V+W$, e quindi (esiste una successione $(z_n)=(v_n + w_n)$ che tende però anche a $v+w$ e allora per unicità del limite) $z=v+w$, cioè $z \in \bar{V}+\bar{W}$.

Tu sai che $z_n$ converge, ma chi ti dice che $v_n, w_n$ convergono? Questo fatto lo puoi avere se la somma $bar{V}, \bar{W}$ è diretta topologica, perché allora - detti $P_V, P_W$ i proiettori continui - risulta $v_n=P_V(z_n), w_n=P_W(z_n)$.

P.S.: Invece sull'altra inclusione non c'è problema, perché se $z\inbar{V}+\bar{W}$ allora esistono $(v_n)\ "in"\ V, (w_n)\ "in"\ W$ tali che $v_n\tov, w_n\tow$. A differenza di prima, qui non hai problemi a dire che $z_n=v_n+w_n$ converge a $z$ per continuità della somma. E chiaramente $v_n+w_n\inV+W$, quindi $\bar{V}+\bar{W}\sub\bar{V+W}$.
I.M.H.O.

[amel3]

Direi che è giusto quello che scrivi, grazie mille!
La questione mi era sorta in testa su una questione legata alla decomposizione di uno spazio di Hilbert nella somma diretta di uno sottospazio chiuso e del suo complemento ortogonale. Mi sa che però ho preso il problema (semplice, comunque) troppo per la larga.
Che dici, la posso postare qui la domanda diretta o lo faccio in un altro thread?

[dissonance]

Io aprirei un altro thread. Questo lo dedichiamo alla questione del $\bar{V}+\bar{W}\stackrel{?}{=}\bar{V+W}$ che ha interesse in sé.
Sostanzialmente ciò che manca qui è un esempio che dimostri la possibilità dell'inclusione stretta $\bar{V}+\bar{W} \sub \bar{V+W}$... Magari a qualcuno viene in mente qualcosa di interessante.

[dissonance]

Ho trovato un articolo riguardo la questione della somma di sottospazi. Riporto l'abstract:

We give necessary and sufficient conditions for the sum of closed subspaces of a Hilbert space to be closed. Specifically, we show that the sum will be closed if and only if the angle between the subspaces is not zero, or if and only if the projection of either space into the orthogonal complement of the other is closed. We also give sufficient conditions for the sum to be closed in terms of the relevant orthogonal projections. As a consequence, we obtain sufficient conditions for the existence of an optimal solution to an abstract quadratic programming problem in terms of the kernels of the cost and constraint operators.

[ViciousGoblin]

In effetti e' questione di angoli....caso mai ne riparliamo.

Comunque ecco un controesempio: prendiamo uno spazio di Hilbert con una base (hilbertiana) $e_0,e_1,...,e_n,...$ -per esempio $l^2$ dove
$e_k(n)=0$ se $n\ne k$ $e_k(k)=1$.
Poniamo $f_n:=1/n e_0+e_{2n}$ e $g_n:=e_{2n}+1/n^2e_{2n+1}$; $F:={\sum_n c_n f_n, c_n\in RR}$ e $G:={\sum_n d_n g_n, d_n\in RR}$. Per costruzione
$F$ e $G$ sono due sottospazi chiusi. Dico che $e_0\notin F\oplus G$. Se lo fosse troverei dei $c_n$ e dei $d_n$ tali che
$e_0=\sum_n c_n f_n + \sum_n d_n g_n=\sum_n c_n/n e_0 + \sum_n(c_n+d_n)e_{2n}+\sum_n d_n/n^2 e_{2n+1}$

da cui $d_n=0$, $c_n=0$ ASSURDO.

Pero' $n f_n-n g_n=e_0 +n e_{2n}-n e_{2n}+1/n e_{2n+1}=e_0+1/n e_{2n+1}\to e_0$

Il problema e' proprio che , anche se $F\capG={0}$) si trovano delle coppie $f_n\in F$ e $g_n\in G$ che sono "quasi opposti", il cui angolo cioe' tende a essere $\pi$ -
ovvero tali che $\frac{}{||f_n|| ||g_n||}\to -1$.

[amel3]

Grazie mille sia a dissonance sia a ViciousGoblin (che bravo ).
A questo punto direi proprio che avevo preso la questione che mi interessava per una piega sbagliata. Però anche la questione degli angoli è interessante; se hai voglia (solo se hai voglia, ci mancherebbe ) di spiegarla un po', la leggo molto volentieri.

[ViciousGoblin]

"amel":Grazie mille sia a dissonance sia a ViciousGoblin (che bravo ).
A questo punto direi proprio che avevo preso la questione che mi interessava per una piega sbagliata. Però anche la questione degli angoli è interessante; se hai voglia (solo se hai voglia, ci mancherebbe ) di spiegarla un po', la leggo molto volentieri.

Ti ringrazio - per la verita' in questa questione ho una certa esperienza, dovuta al fatto che mi ci sono scontrato nel corso della mia attivita' di ricerca (di qualche anno fa ...)

La questione degli angoli dovrebbe stare cosi': prendiamo due spazi chiusi $F$ e $G$ in un Hilbert $H$ - condizione necessaria e sufficiente perche'
$F+G$ sia chiuso e' che esista $\nu>0$ tale che $\frac{}{||f|| ||g||}\geq -1+\epsilon$ per ogni $f\in F\setminus{0}$ e $g\in G\setminus{0}$

Questa condizione significa che presi due vettori $f$ e $g$, uno in $F$ e uno in $G$ l'angolo tra loro e' "lontano" da $\pi$, cioe' $f$ e $f$ sono (uniformemente)
lontani dall'essere opposti (nota che in dimensione infinita puo' capitare che - pur non essendoci mai un $f$ e un $g$ opposti, se ne possano trovare con angolo
arbitariamente vicino a $\pi$, come nell'esempio del post precedente).

Il fatto che la condizione sia necessaria dovrebbe potersi fare costruendo un esempio come quello del post precedente (se vuoi posso pensarci un momento).
Ti faccio vedere che la condizione e' sufficiente:
Sia $u_n=f_n+g_n$ una successione in $F+G$ che tenda a un punto $u$. Allora $u_n$ e' limitata. Mostriamo che i due addendi $f_n$ e $g_n$ sono limitati, in virtu' dell'ipotesi. SI ha:

$||u_n||^2=||f_n+g_n||^2=||f_n||^2+||g_n||^2+2\geq ||f_n||^2+||g_n||^2-2(1-\epsilon)||f_n|| ||g_n||\geq ||f_n||^2+||g_n||^2-(1-\epsilon)(||f_n||^2+ ||g_n||^")=\epsilon(||f_n||^2+||g_n||^2)$

da cui la limitatezza di $f_n$ e $g_n$. Allora possiamo supporre che $f_n\to f\in F$ debolmente e $g_n\to g\in G$ debolmente, da cui $f_n+g_n\to f+g$ debolmente.
Ne segue $u=f+g$ , cioe' $u\in F+G$.

Nota che il tutto e' equivalente alla limitatatezza (e cioe' alla continuita') delle proiezioni da $F+G$ su $F$ e $G$ rispettivamente (a cui aveva accennato dissonance)

[ViciousGoblin]

Nel messaggio precedente ho sottinteso che $F\cap G={0}$ altrimenti la condizione non e' necessaria. Per la verita', ripensandoci, non sono piu' cosi' convinto
che la necessita' si trovi con un controesempio - mi pare piu' probabile che faccia come segue.

1) Se $F + G$ e' chiuso allora e' completo. Consideriamo l'operatore $T:F\times G\to F+G$ definito da $T(f,g)=f+g$, dove in partenza si prende la metrica prodotto
$||(x,y)||=\sqrt{||x||^2+||y||^2}$ e in arrivo la metrica di $H$. Dato che $T$ e' surgettivo e che $F+ G$ e' un Banach, $T$ e' aperta e quindi $T^{-1}$ (che esiste perche'
$F\cap G={0}$) e' continua. Se ne deduce che $||f||^2+||g||^2\leq L^2||f+g||^2$ per una opportuna costante $M$ (e quindi le proiezioni sono continue).
(Questo punto, tra l'altro, e' un fatto abbastanza standard)

2) Ora dimostriamo che vale l'ipotesi. Se per assurdo questa non fosse vera esisterebbero due successioni $f_n$ e $g_n$, in $F$ e in $G$ rispettivamente,
tali che $\frac{}{||f_n|| ||g_n||}\to-1$. Rimpiazzando $f_n$ con $\frac{f_n}{||f_n||}$ e $g_n$ con $\frac{g_n}{||g_n||}$ abbiamo che $||f_n||=||g_n||=1$
e $\to-1$. Ne segue

$||f_n+g_n||^2=||f_n||^2+||g_n||^2+2 =2+2\to 0$

Questo contrasta con $1+1=||f_n||^2+||g_n||^2\leq L^2 ||f_n+g_n||^2\to0$

[dissonance]

@ViciousGoblin: Perdonami l'interruzione - vorrei sapere se stai implicitamente supponendo che lo spazio $H$ sia reale o se va bene anche uno spazio complesso.

[ViciousGoblin]

"dissonance":@ViciousGoblin: Perdonami l'interruzione - vorrei sapere se stai implicitamente supponendo che lo spazio $H$ sia reale o se va bene anche uno spazio complesso.

la prima che hai detto ... anche se penso che per trattare il caso complesso basti scrivere $|\frac{}{||f||\cdot ||g||}|\leq 1-\epsilon$

EDIT Mi correggo - direi che l'ipotesi da utilizzare nel caso complesso e' $Re(\frac{}{||f||\cdot ||g||})\leq 1-\epsilon$

[amel3]

Molto interessante (quindi, scusa la domanda stupida, per quanto riguarda l'obiezione di dissonance, la dimostrazione nel caso complesso è analoga, giusto basta sostituire un paio di volte $|*|$ con $Re(*)$ e usare il fatto che $|*|>=Re(*)$, è così?). Grazie mille per avermi risposto.
Tanto per approfittare un altro po' (vale sempre la regola che domandare è lecito ecc. giusto?), per curiosità personale, c'è un testo (non troppo difficile) che tratti questo genere di argomenti (Brezis a parte)? Mi potrebbe tornare utile per altri eventuali dubbi futuri.
Grazie ancora, ciao.

[ViciousGoblin]

"amel":Molto interessante (quindi, scusa la domanda stupida, per quanto riguarda l'obiezione di dissonance, la dimostrazione nel caso complesso è analoga, giusto basta sostituire un paio di volte $|*|$ con $Re(*)$ e usare il fatto che $|*|>=Re(*)$, è così?). Grazie mille per avermi risposto.
Tanto per approfittare un altro po' (vale sempre la regola che domandare è lecito ecc. giusto?), per curiosità personale, c'è un testo (non troppo difficile) che tratti questo genere di argomenti (Brezis a parte)? Mi potrebbe tornare utile per altri eventuali dubbi futuri.
Grazie ancora, ciao.

Mi spiace di non poterti dare "riferimenti libreschi" , queste cose non ricordo neanche bene dove le ho imparate .

Riguardo al caso complesso credo che tutto stia nella formula
$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2+2 Re()$
in cui c'e' la parte reale del prodotto scalare (poi i conti dovrebbero esssere identici, aggiungendo ogni volta $Re$ davanti ai prodotti scalari coinvolti)

Ciao

[amel3]

"ViciousGoblin":Riguardo al caso complesso credo che tutto stia nella formula
$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2+2 Re()$
in cui c'e' la parte reale del prodotto scalare (poi i conti dovrebbero esssere identici, aggiungendo ogni volta $Re$ davanti ai prodotti scalari coinvolti)

Ah, già giusto , grazie.

"ViciousGoblin":Mi spiace di non poterti dare "riferimenti libreschi" , queste cose non ricordo neanche bene dove le ho imparate .

Ok, non importa, sei già stato disponibilissimo così.
Grazie mille ancora, ciao!