Spazi normati a dimensione finita

[Kroldar]

Dato uno spazio vettoriale $X$ a dimensione finita $k$, è possibile costruire un'applicazione lineare biunivoca da $RR^k$ a $X$ (con questo procedimento si prova tra l'altro che a dimensione finita tutte le norme sono equivalenti).
Ma allora ogni spazio normato a dimensione finita ha sempre la stessa cardinalità di $RR$?

Da questi risultati si può dedurre che in uno spazio normato a dimensione finita ogni successione limitata ammette estratta convergente (in $RR^k$ questo segue dal teorema di Bolzano-Weierstrass)? Se sì, come?

[gugo82]

"Kroldar":Dato uno spazio vettoriale $X$ a dimensione finita $k$, è possibile costruire un'applicazione lineare biunivoca da $RR^k$ a $X$ (con questo procedimento si prova tra l'altro che a dimensione finita tutte le norme sono equivalenti).
Ma allora ogni spazio normato a dimensione finita ha sempre la stessa cardinalità di $RR$?
E ogni spazio normato a dimensione finita è completo?

Da questi risultati si può dedurre che in uno spazio normato a dimensione finita ogni successione limitata ammette estratta convergente (in $RR^k$ questo segue dal teorema di Bolzano-Weierstrass)? Se sì, come?

Quando sai che uno spazio normato reale [risp. complesso] ha dimensione finita $k$, esso prende tutte le proprietà metriche-topologiche di $RR^k$ [risp. $CC^k$] proprio perchè esso è isometricamente isomorfo ad $RR^k$ [risp. $CC^k$].
Praticamente è come se stessi guardando $RR^k$ chiamandolo con un altro nome.

Lo stesso discorso vale quando identifichi, ad esempio, uno spazio di Hilbert separabile con $l^2$... Trovi le stesse proprietà perchè c'è un isomorfismo isometrico che lega i due spazi.

[Kroldar]

Come mai si tende a considerare solo spazi vettoriali sul campo reale o sul campo complesso? Anche il mio professore fa così. Non è di interesse considerare spazi vettoriali su campi differenti?