Spazi normati
Buongiorno,
ho un problema con gli spazi normati. Premetto che ho appena iniziato a studiarli e la definizione gia' mi crea qualche dubbio ma niente di fondamentale. Studiando dagli appunti del mio professore ho trovato degli esempi che non riesco proprio a capire. Li riporto qui
Innanzitutto premetto che tutto quello che io so su uno spazio normato e' che questo e' formato dalla coppia $(X,||||)$
Dove $X$ e' uno spazio vettoriale e $||||: X->R$ una funzione che gode delle seguenti proprieta':
$||x||>=0$ ed in particolare $||x||=0$ se e solo se $x=0$
$||kx||=|k| ||x||$
$||x+y||<= ||x||+||y||$
so inoltre che $||x||=(\sum_{i=1}^{n}(x^2))^(1/2)$
e in generale vale $||x||_p=(\sum|x^p|)^(1/p)$
e che uno spazio normato induce una distanza ossia che $d(x,y)= ||x+y||$
e fino a qui diciamo che ci sono. Ora il mio professore fa diversi esempi.
Ho $||x||_p=(\sum_{i=1}^{n}|x^p|)^(1/p)$ con $p>=1$ trova le palle unitarie centrate in 0 $B_p(0,1)$ e gia' qui non mi e' chiaro cosa devo fare
Poi scrive quella che penso sia la soluzione
$B_2(0,1)=x^2+y^2$
$B_1(0,1)= ||(x,y)||=|x|+|y|<=1$
$||X||_(oo)=max(|x_i|)$
cosa significano queste cose? So che la mia domanda e' molto vaga ma non so proprio da dove cominciare, mi accontento anche di qualche spiegazione ed esempio in piu' sugli spazi normati in generale
ho un problema con gli spazi normati. Premetto che ho appena iniziato a studiarli e la definizione gia' mi crea qualche dubbio ma niente di fondamentale. Studiando dagli appunti del mio professore ho trovato degli esempi che non riesco proprio a capire. Li riporto qui
Innanzitutto premetto che tutto quello che io so su uno spazio normato e' che questo e' formato dalla coppia $(X,||||)$
Dove $X$ e' uno spazio vettoriale e $||||: X->R$ una funzione che gode delle seguenti proprieta':
$||x||>=0$ ed in particolare $||x||=0$ se e solo se $x=0$
$||kx||=|k| ||x||$
$||x+y||<= ||x||+||y||$
so inoltre che $||x||=(\sum_{i=1}^{n}(x^2))^(1/2)$
e in generale vale $||x||_p=(\sum|x^p|)^(1/p)$
e che uno spazio normato induce una distanza ossia che $d(x,y)= ||x+y||$
e fino a qui diciamo che ci sono. Ora il mio professore fa diversi esempi.
Ho $||x||_p=(\sum_{i=1}^{n}|x^p|)^(1/p)$ con $p>=1$ trova le palle unitarie centrate in 0 $B_p(0,1)$ e gia' qui non mi e' chiaro cosa devo fare
Poi scrive quella che penso sia la soluzione
$B_2(0,1)=x^2+y^2$
$B_1(0,1)= ||(x,y)||=|x|+|y|<=1$
$||X||_(oo)=max(|x_i|)$
cosa significano queste cose? So che la mia domanda e' molto vaga ma non so proprio da dove cominciare, mi accontento anche di qualche spiegazione ed esempio in piu' sugli spazi normati in generale
Risposte
Detto $vec(x)=(x_1,...,x_n)$ un vettore di $RR^n$, come mostrato dal tuo professore ci sono diverse norme.
Con "2-norma", "norma-2", si intende la usuale norma euclidea $||x||=x_{1}^2+...+x_n^2$.
La norma-1, è data dalla somma dei moduli delle componenti del vettore n-dimesnionale: $||x||=|x_1|+...+|x_n|$.
La "norma-infinito", o "norma del sup", o "norma-uniforme" è data da $max{|x_i|}$, cioè dal massimo dei moduli delle componenti.
Si dimostra che le tre norme si "dominano" una con l'altra, e quindi sono equivalenti e danno origine alla stessa definizione di limite.
Con la notazione $B_{2}(0,1)$ si intende la "palla" (in inglese Ball) di centro l'origine e raggio $1$. Nel caso sia centrata nell'origine, si parla anche di sfera unitaria $S={x \in RR^n: ||x|| \leq 1}$.
La definizione della palla di centro $C$ è raggio $r$ è: $B_2(C,r)={x \in RR^n: ||x - C|| \leq r}$. A seconda della norma che consideri, le "palle" assumono forme geometriche diverse.
Mettiamoci in $RR^2$.
Con la norma-2, queste palle sono vere e proprie circonferenze, e nel caso del tuo professore, sono centrate nell'origine.
La palla di centro l'origine e raggio $1$, rispetto alla norma-1, è data dal quadrato centrato nell'origine "ruotato" di $\pi/4$.
E con la norma-infinito sapresti dirmi come sono fatte le "palle"?
Con "2-norma", "norma-2", si intende la usuale norma euclidea $||x||=x_{1}^2+...+x_n^2$.
La norma-1, è data dalla somma dei moduli delle componenti del vettore n-dimesnionale: $||x||=|x_1|+...+|x_n|$.
La "norma-infinito", o "norma del sup", o "norma-uniforme" è data da $max{|x_i|}$, cioè dal massimo dei moduli delle componenti.
Si dimostra che le tre norme si "dominano" una con l'altra, e quindi sono equivalenti e danno origine alla stessa definizione di limite.
"ludovica_97":
$B_2(0,1)=x^2+y^2$
$B_1(0,1)=|x|+|y|≤1$
$||X||∞=max(|xi|)$
cosa significano queste cose?
Con la notazione $B_{2}(0,1)$ si intende la "palla" (in inglese Ball) di centro l'origine e raggio $1$. Nel caso sia centrata nell'origine, si parla anche di sfera unitaria $S={x \in RR^n: ||x|| \leq 1}$.
La definizione della palla di centro $C$ è raggio $r$ è: $B_2(C,r)={x \in RR^n: ||x - C|| \leq r}$. A seconda della norma che consideri, le "palle" assumono forme geometriche diverse.
Mettiamoci in $RR^2$.
Con la norma-2, queste palle sono vere e proprie circonferenze, e nel caso del tuo professore, sono centrate nell'origine.
La palla di centro l'origine e raggio $1$, rispetto alla norma-1, è data dal quadrato centrato nell'origine "ruotato" di $\pi/4$.
E con la norma-infinito sapresti dirmi come sono fatte le "palle"?
"feddy":
Detto $vec(x)=(x_1,...,x_n)$ un vettore di $RR^n$, come mostrato dal tuo professore ci sono diverse norme.
Con "2-norma", "norma-2", si intende la usuale norma euclidea $||x||=x_{1}^2+...+x_n^2$.
La norma-1, è data dalla somma dei moduli delle componenti del vettore n-dimesnionale: $||x||=|x_1|+...+|x_n|$.
La "norma-infinito", o "norma del sup", o "norma-uniforme" è data da $max{|x_i|}$, cioè dal massimo dei moduli delle componenti.
Si dimostra che le tre norme si "dominano" una con l'altra, e quindi sono equivalenti e danno origine alla stessa definizione di limite.
[quote="ludovica_97"]
$B_2(0,1)=x^2+y^2$
$B_1(0,1)=|x|+|y|≤1$
$||X||∞=max(|xi|)$
cosa significano queste cose?
Con la notazione $B_{2}(0,1)$ si intende la "palla" (in inglese Ball) di centro l'origine e raggio $1$. Nel caso sia centrata nell'origine, si parla anche di sfera unitaria $S={x \in RR^n: ||x|| \leq 1}$.
La definizione della palla di centro $C$ è raggio $r$ è: $B_2(C,r)={x \in RR^n: ||x - C|| \leq r}$. A seconda della norma che consideri, le "palle" assumono forme geometriche diverse.
Mettiamoci in $RR^2$.
Con la norma-2, queste palle sono vere e proprie circonferenze, e nel caso del tuo professore, sono centrate nell'origine.
La palla di centro l'origine e raggio $1$, rispetto alla norma-1, è data dal quadrato centrato nell'origine "ruotato" di $\pi/4$.
E con la norma-infinito sapresti dirmi come sono fatte le "palle"?[/quote]
Quadrato?
Non c'era bisogno di citare tutto ! 
Comnque sì, viene un quadrato
Comnque sì, viene un quadrato
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