Spazi normati
Buongiorno.
$(X,M,mu)$ spazio di misura positiva. Sia $1<=p<=+infty$. Allora $L^p(mu)$ è uno spazio vettoriale di $CC$.
Studio $||*||_p$ in $L^p(mu)$, quindi:
1 $AA f in L^p(mu), ||f||_p=(int_X |f|^p d(mu))^(1/p)>=0$
2 $AA f in L^p(mu)$ e $AA alpha in CC$ è $||alphaf||_p=|alpha|||f||_p$
3 $AA f,g in L^p(mu)$ è $||f+g||_p<=||f||_p+||g||_p$
4 $||f||_p=0 hArr (int_X |f|^p d(mu))^(1/p)=0 hArr int_X |f|^p d(mu)=0 hArr f=0$ q.o. rispetto a $mu$
Mi sono state date tali proprietà.
Vorrei sapere, per quanto riguarda la 4, perché la mia prof.essa afferma quanto segue:
"In $L^p(mu)$ non è vero che $||f||_p=0 hArr f$ è lo $0$ di $L^p(mu)$, cioè $f=0$ $AA x in X$".
Ma nella 4 vi sono tutte doppie implicazioni, pertanto $||f||_p=0 hArr f=0$. Non vi pare una contraddizione ciò che ha detto la prof.essa? Oppure mi è sfuggito qualcosa?
Inoltre volevo chiedere:
Definisce la seguente "relazione di equivalenza": $E^p(mu)=$ $(L^p(mu))/~$ dove $f~g hArr f=g$ q.o. rispetto a $mu$.
Allora $E^p(mu)$ è uno spazio vettoriale con:
1 $[f]+[g]=[f+g]$
2 $alpha[f]=[alphaf]$
3 $||f||_p=(int_X |f|^p d(mu))^(1/p)$
Vorrei sapere da dove escono $[f], [g]$... E sopratutto cosa sono! Come sono definite?
In conclusione la prof.essa considera $p=+infty$ e dice "$||*||_(+infty)$ non è una norma su $L^p(mu)$, ma lo è su $E^p(mu)$. Perché afferma quest'ultima?
Grazie a chi potrà togliermi questi dubbi...
(Vi giuro che sto impazzendo. Perdo più tempo a correggere e a decifrare cosa mi fanno scrivere i prof piuttosto che a imparare ciò che devo...
)
$(X,M,mu)$ spazio di misura positiva. Sia $1<=p<=+infty$. Allora $L^p(mu)$ è uno spazio vettoriale di $CC$.
Studio $||*||_p$ in $L^p(mu)$, quindi:
1 $AA f in L^p(mu), ||f||_p=(int_X |f|^p d(mu))^(1/p)>=0$
2 $AA f in L^p(mu)$ e $AA alpha in CC$ è $||alphaf||_p=|alpha|||f||_p$
3 $AA f,g in L^p(mu)$ è $||f+g||_p<=||f||_p+||g||_p$
4 $||f||_p=0 hArr (int_X |f|^p d(mu))^(1/p)=0 hArr int_X |f|^p d(mu)=0 hArr f=0$ q.o. rispetto a $mu$
Mi sono state date tali proprietà.
Vorrei sapere, per quanto riguarda la 4, perché la mia prof.essa afferma quanto segue:
"In $L^p(mu)$ non è vero che $||f||_p=0 hArr f$ è lo $0$ di $L^p(mu)$, cioè $f=0$ $AA x in X$".
Ma nella 4 vi sono tutte doppie implicazioni, pertanto $||f||_p=0 hArr f=0$. Non vi pare una contraddizione ciò che ha detto la prof.essa? Oppure mi è sfuggito qualcosa?
Inoltre volevo chiedere:
Definisce la seguente "relazione di equivalenza": $E^p(mu)=$ $(L^p(mu))/~$ dove $f~g hArr f=g$ q.o. rispetto a $mu$.
Allora $E^p(mu)$ è uno spazio vettoriale con:
1 $[f]+[g]=[f+g]$
2 $alpha[f]=[alphaf]$
3 $||f||_p=(int_X |f|^p d(mu))^(1/p)$
Vorrei sapere da dove escono $[f], [g]$... E sopratutto cosa sono! Come sono definite?
In conclusione la prof.essa considera $p=+infty$ e dice "$||*||_(+infty)$ non è una norma su $L^p(mu)$, ma lo è su $E^p(mu)$. Perché afferma quest'ultima?
Grazie a chi potrà togliermi questi dubbi...
(Vi giuro che sto impazzendo. Perdo più tempo a correggere e a decifrare cosa mi fanno scrivere i prof piuttosto che a imparare ciò che devo...
)
Risposte
"Lord Rubik":
Buongiorno.
$(X,M,mu)$ spazio di misura positiva. Sia $1<=p<=+infty$. Allora $L^p(mu)$ è uno spazio vettoriale di $CC$.
Studio $||*||_p$ in $L^p(mu)$, quindi:
1 $AA f in L^p(mu), ||f||_p=(int_X |f|^p d(mu))^(1/p)>=0$
2 $AA f in L^p(mu)$ e $AA alpha in CC$ è $||alphaf||_p=|alpha|||f||_p$
3 $AA f,g in L^p(mu)$ è $||f+g||_p<=||f||_p+||g||_p$
4 $||f||_p=0 hArr (int_X |f|^p d(mu))^(1/p)=0 hArr int_X |f|^p d(mu)=0 hArr f=0$ q.o. rispetto a $mu$
Mi sono state date tali proprietà.
Vorrei sapere, per quanto riguarda la 4, perché la mia prof.essa afferma quanto segue:
"In $L^p(mu)$ non è vero che $||f||_p=0 hArr f$ è lo $0$ di $L^p(mu)$, cioè $f=0$ $AA x in X$".
Ma nella 4 vi sono tutte doppie implicazioni, pertanto $||f||_p=0 hArr f=0$. Non vi pare una contraddizione ciò che ha detto la prof.essa? Oppure mi è sfuggito qualcosa?
Il fatto che \( \Vert f \Vert_p = 0 \) implica che $f=0$ (solo) $\mu$ q.o. e questo non vuol dire che $f \equiv 0$. Per dire, prendi la solita funzione di Dirichlet (la caratteristica di $QQ$). Siccome $QQ$ è trascurabile, puoi affermare che tale funzione è q.o. uguale alla funzione nulla. Ma come puoi ben vedere, la funzione di Dirichlet si guarda bene dall'essere identicamente nulla.
Di solito, lo schema è questo (e lo trovi su ogni libro di analisi serio). Prendi $p \in [1,+\infty)$. Chiama \( \mathcal{L}^p(X)\) lo spazio vettoriale delle funzioni (definite su uno spazio di misura $X$ a valori in $RR$) a potenza $p$-esima integrabile. Definisci la funzione a valori reali
\[
\vert \cdot \vert_p \colon \mathcal{L}^p \ni f \mapsto \left( \int_X \vert f \vert^p d\mu \right)^{\frac{1}{p}} \in \mathbb R
\]
Questa funzione è subadditiva, omogenea e assume valori non negativi (a rigore, è una seminorma). Per quanto detto sopra non è una norma, perché \( \vert f \vert_p = 0\) non implica che $f \equiv 0$. Come aggirare questo problema? Così:
"Lord Rubik":
Definisce la seguente "relazione di equivalenza": [...] $f~g hArr f=g$ q.o. rispetto a $mu$.
A questo punto, lascio a te il piacere di verificare che \(L^p:= \frac{\mathcal{L}^p}{\sim} \) è uno spazio vettoriale normato (di dimensione infinita ed anche completo), perché la seminorma di sopra in $L^p$ diviene una vera e propria norma (hai "ucciso" e fatto diventare 0 tutte le funzioni q.o. nulle, cioè tutte le funzioni che ti davano fastidio). Tieni presente che $L^p$ non è esattamente uno spazio di funzioni, ma uno spazio di classi di equivalenza di funzioni, classi che tu denoti con $[f]$. E' più chiaro ora?
P.S. Permettimi un consiglio.
"Lord Rubik":
(Vi giuro che sto impazzendo. Perdo più tempo a correggere e a decifrare cosa mi fanno scrivere i prof piuttosto che a imparare ciò che devo...
Ma perché non ti prendi un buon libro? E' impensabile studiare solo dagli appunti e queste sono cose che si trovano in qualsiasi libro... Inoltre, proprio non capisco perché sono i prof a "farti scrivere": secondo me, gli appunti vanno presi con consapevolezza e concentrazione (quanto più possibile), non basta ricopiare distrattamente una lavagnata di conti-definizioni-teoremi-corollari etc. Just my two cents.
Ciao Paolo90. Grazie per la tua risposta. Vorrei chiederti un'altra cosa:
$||*||_p:Xrarr[0,+infty)$ è una norma e valgono le seguenti proprietà:
1 $||x||=0 hArr x=0$, $AA x in X$
2 $||alphax||= |alpha|||x||$, $AA x in X$ e $AA alpha in CC$
3 $||x+y||<=||x||+||y||$ $AA x in X$
Che cos'è una seminorma?
Che differenza ha rispetto alla definizione di norma sopra esposta?
È la prima volta che la sento nominare e inoltre sui miei appunti non è definita.
Per quanto riguarda il consiglio che mi hai dato (di trovare un buon libro da dove studiare) ti ringrazio tantissimo!
Però il problema sta proprio in questo:
sui libri consigliati nel programma di analisi ho trovato pochissimo di ciò che sto studiando dagli appunti (i miei compagni di corso stanno facendo lo stesso).
Alcuni libri sono in inglese (abbi pazienza ma non posso prima imparare un'altra lingua per poter studiare questo esame).
Se non fosse per questo forum non avrei combinato nulla fino adesso... Non ne parliamo degli esercizi (abbiamo avuto questo corso di analisi senza esercitazione... Gli esercizi su cui ho fatto pratica li ho presi dalle precedenti prove di analisi svoltesi in facoltà).
In pratica non ho né un libro di teoria, né un libro di esercizi adeguati per questo esame... Se puoi consigliarmene te qualcuno mi faresti un gran piacere
P.s. Ti potrà sembrare assurdo quanto ho detto, ma effettivamente è così...
$||*||_p:Xrarr[0,+infty)$ è una norma e valgono le seguenti proprietà:
1 $||x||=0 hArr x=0$, $AA x in X$
2 $||alphax||= |alpha|||x||$, $AA x in X$ e $AA alpha in CC$
3 $||x+y||<=||x||+||y||$ $AA x in X$
Che cos'è una seminorma?
Che differenza ha rispetto alla definizione di norma sopra esposta?
È la prima volta che la sento nominare e inoltre sui miei appunti non è definita.
Per quanto riguarda il consiglio che mi hai dato (di trovare un buon libro da dove studiare) ti ringrazio tantissimo!
Però il problema sta proprio in questo:
sui libri consigliati nel programma di analisi ho trovato pochissimo di ciò che sto studiando dagli appunti (i miei compagni di corso stanno facendo lo stesso).
Alcuni libri sono in inglese (abbi pazienza ma non posso prima imparare un'altra lingua per poter studiare questo esame).
Se non fosse per questo forum non avrei combinato nulla fino adesso... Non ne parliamo degli esercizi (abbiamo avuto questo corso di analisi senza esercitazione... Gli esercizi su cui ho fatto pratica li ho presi dalle precedenti prove di analisi svoltesi in facoltà).
In pratica non ho né un libro di teoria, né un libro di esercizi adeguati per questo esame... Se puoi consigliarmene te qualcuno mi faresti un gran piacere
P.s. Ti potrà sembrare assurdo quanto ho detto, ma effettivamente è così...
"Lord Rubik":
Ciao Paolo90. Grazie per la tua risposta.
Prego, figurati.
"Lord Rubik":
Vorrei chiederti un'altra cosa:
$||*||_p:Xrarr[0,+infty)$ è una norma e valgono le seguenti proprietà:
1 $||x||=0 hArr x=0$, $AA x in X$
2 $||alphax||= |alpha|||x||$, $AA x in X$ e $AA alpha in CC$
3 $||x+y||<=||x||+||y||$ $AA x in X$
Che cos'è una seminorma? Che differenza ha rispetto alla definizione di norma sopra esposta? È la prima volta che la sento nominare e inoltre sui miei appunti non è definita.
In soldoni, è una norma non "definita" (nel senso delle forme quadratiche). Detto meglio, una seminorma su uno spazio vettoriale $X$ è una funzione \( \vert \cdot \vert \colon X \to \mathbb R \) tale che \( \vert x \vert \ge 0 \) per ogni $x \in X$, vale la disuguaglianza triangolare \( \vert x+y\vert \le \vert x \vert + \vert y \vert \) per ogni $x,y\in X$ e \( \vert 0 \vert = 0\).
Se, in più chiedi che \( \vert x \vert = 0 \Rightarrow x = 0\) allora hai una norma. Chiaro ora? Comunque, è solo un nome, non ti preoccupare, la sostanza che devi ricordare è contenuta nel mio post precedente. Le seminorme sono comunque importanti perché danno un modo "furbo" per mettere una topologia interessante su certi spazi (di dimensione infinita).
"Lord Rubik":
Per quanto riguarda il consiglio che mi hai dato (di trovare un buon libro da dove studiare) ti ringrazio tantissimo! [...]
In pratica non ho né un libro di teoria, né un libro di esercizi adeguati per questo esame... Se puoi consigliarmene te qualcuno mi faresti un gran piacere
Capisco. Quali sono i testi consigliati, se posso chiedere? Inoltre, che cosa studi (sempre se mi è concesso chiedere)? Che esame stai preparando? Qual è il programma?
Comunque, il mio primo consiglio, è quello di cominciare subito a masticare un po' di inglese. Non conosci proprio niente di questa lingua? Tieni presente, comunque, che leggere un libro di Matematica in inglese (o in francese, se vuoi leggere Schwartz o Boubraki
) non è come leggere un romanzo, è molto, molto più semplice. L'inglese "tecnico" è piuttosto semplice, non serve sapere che cosa è il present perfect per comprendere l'enunciato di un teorema in inglese (almeno, di solito è così ). Prima di esprimermi con un consiglio mirato sui testi, aspetto una tua risposta circa il tuo corso di studi e sul programma, in modo da sapermi regolare. In linea generale, comunque, queste cose (ad esempio relative agli $L^p$) le trovi un po' su tutti i testi di Analisi: in questo momento, mi vengono in mente il solito Pagani-Salsa, Analisi Matematica (io ti consiglio l'edizione pre-riforma; quella post riforma, mi pare sia scritta anche da Bramanti, non la conosco bene), il Marcellini-Sbordone (non è tra i miei preferiti, però non è male). Il meglio, sempre restando sul vago, secondo me lo trovi in inglese: senz'altro, i due Rudin: Principles (che forse esiste anche in italiano) e il Real and complex analysis (anche questo, forse esiste un'edizione italiana Bollati-Boringhieri, ma non sono sicuro). Altri validi testi che potrebbero piacerti che mi vengono in mente (ma che contengono una quantità smisurata di cose) sono il Gilardi, il Giusti, il Royden, il Bogachev, l'Halmos, il Lieb-Loss, Tao...
Condivido quanto suggerito da Paolo90. Conviene sempre scegliere un buon testo di riferimento. L'inglese in generale non è un grosso problema, e inoltre è buona abitudine cominciare a fare un po' di pratica, anche perché quando si arriva ad un certo livello i buoni testi e gli articoli si trovano soltanto (o soprattutto) in inglese. Per quanto riguarda gli argomenti che penso tu stia trattando, confermo che c'è un'edizione italiana edita da Bollati Boringhieri del testo di W. Rudin. Il titolo è "Analisi Reale e Complessa"; ti posso anche consigliare di consultare (lo trovi in italiano) il testo "Analisi Funzionale" di H. Brezis. E' edito da Liguori, e ha un'appendice di teoria della misura e dell'integrazione scritta da C. Sbordone.
L'esame è Analisi 3.
Il mio programma si divide in:
"Equazioni differenziali ordinarie"
"Successioni e serie di funzioni"
"L'integrale e la misura di Lebesque"
"Spazi metrici e spazi funzionali"
"Funzioni analitiche"
Per quanto riguarda i testi consigliati, quelli dati sono i seguenti:
1 Principles of real analysis, Academic Press, 1998, Aliprantis, Burkinshaw
2 Complex variables and applications, McGraw, 1990, Churchill, J.M. Brown
3 Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale,Edizioni MIr, 1980, Kolmogorov, Fomin
4 Analisi funzionale. Teoria ed applicazioni, Liguori Editore, 1986, Brezis
5 Real analisys, Macmillan Publishing Company, 1988, Royden
Poi ci sono quelli che te hai detto:
6 Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri, Torino 1989, Giusti
7 Esercizi e complementi di analisi matematica, vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino 1991, Giusti
8 Analisi matematica 2, Liguori Editore 1996, MArcellini, Sbordone
9 Analisi matmatica,vol.2, MAsson, Milano,1991, Pagani, Salsa,
10 Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri, Torino 1974, Rudin
11 Functional Analisys, McGraw Hill, 1973, Rudin
Dato che ci sono alcuni che te mi hai detto quale mi consigli di "teoria"? (in particolare per le successioni e serie di funzioni, misura e spazi metrici e funzionali).
Per la parte di analisi complessa devo prendere il volume "Analisi reale e complessa" di Rudin?
Per quanto riguarda gli esercizi, mi serve un libro dove ci siano quelli specialmente sulle serie di funzioni. In analisi 2 la prof.essa molti esercizi li prendeva dal giusti -non so se possa c'entrare qualcosa. Provo a vedere in quest'ultimo? Oppure c'è di meglio?
Il pagani-salsa ce l'ho... Sinceramente non ho trovato ciò ke mi serviva. (Poco ho trovato sul Marcellini-Sbordone)
Comunque questi sono i testi e del programma ho esposto solo le parti principali, non ho scritto tutti i teoremi o parti contenuti in esso.
Il mio programma si divide in:
"Equazioni differenziali ordinarie"
"Successioni e serie di funzioni"
"L'integrale e la misura di Lebesque"
"Spazi metrici e spazi funzionali"
"Funzioni analitiche"
Per quanto riguarda i testi consigliati, quelli dati sono i seguenti:
1 Principles of real analysis, Academic Press, 1998, Aliprantis, Burkinshaw
2 Complex variables and applications, McGraw, 1990, Churchill, J.M. Brown
3 Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale,Edizioni MIr, 1980, Kolmogorov, Fomin
4 Analisi funzionale. Teoria ed applicazioni, Liguori Editore, 1986, Brezis
5 Real analisys, Macmillan Publishing Company, 1988, Royden
Poi ci sono quelli che te hai detto:
6 Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri, Torino 1989, Giusti
7 Esercizi e complementi di analisi matematica, vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino 1991, Giusti
8 Analisi matematica 2, Liguori Editore 1996, MArcellini, Sbordone
9 Analisi matmatica,vol.2, MAsson, Milano,1991, Pagani, Salsa,
10 Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri, Torino 1974, Rudin
11 Functional Analisys, McGraw Hill, 1973, Rudin
Dato che ci sono alcuni che te mi hai detto quale mi consigli di "teoria"? (in particolare per le successioni e serie di funzioni, misura e spazi metrici e funzionali).
Per la parte di analisi complessa devo prendere il volume "Analisi reale e complessa" di Rudin?
Per quanto riguarda gli esercizi, mi serve un libro dove ci siano quelli specialmente sulle serie di funzioni. In analisi 2 la prof.essa molti esercizi li prendeva dal giusti -non so se possa c'entrare qualcosa. Provo a vedere in quest'ultimo? Oppure c'è di meglio?
Il pagani-salsa ce l'ho... Sinceramente non ho trovato ciò ke mi serviva. (Poco ho trovato sul Marcellini-Sbordone)
Comunque questi sono i testi e del programma ho esposto solo le parti principali, non ho scritto tutti i teoremi o parti contenuti in esso.
Analisi Reale e Complessa e Functional Analysis di Rudin lasciali perdere.
Per le EDO e le successioni di funzioni scelte sensate potrebbero essere Analisi Matematica 2 di Giusti (quello per i vecchi ordinamenti, integrato con Esercizi e Complementi) oppure Analisi Matematica II di Pagani E Salsa (sempre l'edizione per i vecchi ordinamenti).
Per l'integrale di Lebesgue, la Teoria della Misura e gli spazi di funzioni, il Real Analysis di Royden potrebbe andar bene.
Per la parte di Analisi Complessa, che credo si fermi alla teoria dei residui, puoi vedere il classico testo di Alfohrs oppure il più recente Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variables.
Tuttavia, il consiglio che più mi sento di darti è il seguente: vai in biblioteca e sfogliati tutti i libri segnalati; tra tutti, scegli quelli che più sono in sintonia con i contenuti del corso e con il tuo sentire.
Per le EDO e le successioni di funzioni scelte sensate potrebbero essere Analisi Matematica 2 di Giusti (quello per i vecchi ordinamenti, integrato con Esercizi e Complementi) oppure Analisi Matematica II di Pagani E Salsa (sempre l'edizione per i vecchi ordinamenti).
Per l'integrale di Lebesgue, la Teoria della Misura e gli spazi di funzioni, il Real Analysis di Royden potrebbe andar bene.
Per la parte di Analisi Complessa, che credo si fermi alla teoria dei residui, puoi vedere il classico testo di Alfohrs oppure il più recente Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variables.
Tuttavia, il consiglio che più mi sento di darti è il seguente: vai in biblioteca e sfogliati tutti i libri segnalati; tra tutti, scegli quelli che più sono in sintonia con i contenuti del corso e con il tuo sentire.
Per le Equazioni differenziali ordinarie, per le successioni di funzioni e per gli spazi metrici/funzionali, concordo con Gugo, vai con il Giusti e soprattutto (secondo me) con il Pagani-Salsa.
Per Analisi complessa, un buon testo è anche lo Stein-Shakarchi, volume 2.
Per Teoria della Misura, invece, dissento in parte dai consigli di Gugo: se è assolutamente vero che il Functional Analysis di Rudin lo puoi dimenticare (in questo contesto c'entra ben poco), non altrettanto si può dire del Real and complex. Al contrario, io preferisco quest'ultimo al Royden per quanto riguarda la teoria dell'integrazione e degli spazi $L^p$. Il Royden, che comunque è un validissimo testo e ha il pregio di essere abbastanza semplice, è da preferirsi - IMHO - al Rudin solamente nella parte iniziale, cioè la costruzione delle misure a partire da misure esterne, completamenti di misure e sigma-algebre etc. (in effetti, Rudin usa un po' un cannone per costruire la misura di Lebesgue e all'inizio è meglio l'approccio classico di Royden).
Ad ogni modo, il consiglio più furbo di tutti te l'ha dato Gugo: vai in biblioteca e sfogliati il maggior numero di testi di analisi che trovi. Sei tu che devi studiare, quindi sei tu a dover decidere quali ti piacciono di più.
Per Analisi complessa, un buon testo è anche lo Stein-Shakarchi, volume 2.
Per Teoria della Misura, invece, dissento in parte dai consigli di Gugo: se è assolutamente vero che il Functional Analysis di Rudin lo puoi dimenticare (in questo contesto c'entra ben poco), non altrettanto si può dire del Real and complex. Al contrario, io preferisco quest'ultimo al Royden per quanto riguarda la teoria dell'integrazione e degli spazi $L^p$. Il Royden, che comunque è un validissimo testo e ha il pregio di essere abbastanza semplice, è da preferirsi - IMHO - al Rudin solamente nella parte iniziale, cioè la costruzione delle misure a partire da misure esterne, completamenti di misure e sigma-algebre etc. (in effetti, Rudin usa un po' un cannone per costruire la misura di Lebesgue e all'inizio è meglio l'approccio classico di Royden).
Ad ogni modo, il consiglio più furbo di tutti te l'ha dato Gugo: vai in biblioteca e sfogliati il maggior numero di testi di analisi che trovi. Sei tu che devi studiare, quindi sei tu a dover decidere quali ti piacciono di più.
@ Paolo90: Lo Stein & Shakarchi, Complex Analysis, non lo conoscevo; l'ho appena sfogliato ora su Google Books e devo dire che non è male.
Per quanto riguarda il R&CA di Rudin, l'ho sconsigliato per un equivoco: infatti, non ricordavo che Lord Rubik fosse un matematico (mi ricordavo fosse un fisico, confondendolo con qualche altro "lord" del forum, evidentemente).
Tuttavia c'è qualcosa che mi turba nel consigliare il R&CA di Rudin come riferimento principale.
Infatti ciò che mi dispiace del Rudin è che fa la costruzione della misura di Lebesgue "industriale" (usando i funzionali continui e limitati su \(C_c\)), al posto della costruzione "artigianale" (quella fatta sfruttando la misura di Peano); inoltre, in molte parti è troppo sintetico e perciò non è molto student-friendly.
Per quanto riguarda il R&CA di Rudin, l'ho sconsigliato per un equivoco: infatti, non ricordavo che Lord Rubik fosse un matematico (mi ricordavo fosse un fisico, confondendolo con qualche altro "lord" del forum, evidentemente).
Tuttavia c'è qualcosa che mi turba nel consigliare il R&CA di Rudin come riferimento principale.
Infatti ciò che mi dispiace del Rudin è che fa la costruzione della misura di Lebesgue "industriale" (usando i funzionali continui e limitati su \(C_c\)), al posto della costruzione "artigianale" (quella fatta sfruttando la misura di Peano); inoltre, in molte parti è troppo sintetico e perciò non è molto student-friendly.
@ gugo82: secondo me, tutta la serie degli Stein & Shakarchi è interessante e sono contento che il volume non ti dispiaccia 
. Io conosco "bene" solo il secondo volume, Analisi complessa, appunto, ma ho avuto occasione di sfogliare e leggiucchiare anche qualcosa dal terzo (che costituisce un altro buon riferimento per la teoria della misura) e dal quarto (analisi funzionale). Non ho mai letto nulla, invece, del Fourier Analysis.
Per quanto riguarda il Rudin, sottoscrivo completamente quanto dici e coincide con quanto già affermavo sopra:
Il cannone cui mi riferisco è ovviamente il Teorema di rappresentazione di Riesz, cui Rudin ricorre nel II capitolo e che - per quanto elegante - è indubbiamente ostico ad una prima lettura; inoltre, è del tutto inadatto al novello studente di Teoria della misura che deve imparare a costruire le misure a mano, proprio come fa Royden.
D'altra parte, mi sento di consigliare molto caldamente il Rudin, ad esempio, per la sezione relativa ai teoremi di convergenza sotto il segno di integrale: il Royden fa un macello che la metà basta (propone subito una versione di Fatou con il limite anziché il liminf, la cui dimostrazione è piuttosto incasinata... e da questo fa discendere - in un modo non troppo bello, secondo me - tutto il resto, cioè Beppo Levi e Lebesgue-convergenza dominata); Rudin invece è elegantissimo e, soprattutto, molto molto più chiaro (proponendo il consolidato schema Beppo Levi-Fatou subito con liminf-convergenza dominata), con il pregio di risultare sintetico e chiaro al tempo stesso.
Mi sovvengono ora altri due titoli. Un'altra monografia che ho già consigliato in altre occasioni per la Teoria della Misura è quella di Benedetto-Czaja, Integration and modern analysis. Infine, altro punto di riferimento potrebbe essere l'Amann-Escher, trilogia piuttosto interessante (piuttosto affascinanti i capitoli conclusivi del terzo volume, dove si costruisce a mano una sigma-algebra e una misura per l'integrazione su varietà, cosa che io non ho mai trovato altrove).
. Io conosco "bene" solo il secondo volume, Analisi complessa, appunto, ma ho avuto occasione di sfogliare e leggiucchiare anche qualcosa dal terzo (che costituisce un altro buon riferimento per la teoria della misura) e dal quarto (analisi funzionale). Non ho mai letto nulla, invece, del Fourier Analysis. Per quanto riguarda il Rudin, sottoscrivo completamente quanto dici e coincide con quanto già affermavo sopra:
"Paolo90":
[...] (in effetti, Rudin usa un po' un cannone per costruire la misura di Lebesgue e all'inizio è meglio l'approccio classico di Royden).
Il cannone cui mi riferisco è ovviamente il Teorema di rappresentazione di Riesz, cui Rudin ricorre nel II capitolo e che - per quanto elegante - è indubbiamente ostico ad una prima lettura; inoltre, è del tutto inadatto al novello studente di Teoria della misura che deve imparare a costruire le misure a mano, proprio come fa Royden.
D'altra parte, mi sento di consigliare molto caldamente il Rudin, ad esempio, per la sezione relativa ai teoremi di convergenza sotto il segno di integrale: il Royden fa un macello che la metà basta (propone subito una versione di Fatou con il limite anziché il liminf, la cui dimostrazione è piuttosto incasinata... e da questo fa discendere - in un modo non troppo bello, secondo me - tutto il resto, cioè Beppo Levi e Lebesgue-convergenza dominata); Rudin invece è elegantissimo e, soprattutto, molto molto più chiaro (proponendo il consolidato schema Beppo Levi-Fatou subito con liminf-convergenza dominata), con il pregio di risultare sintetico e chiaro al tempo stesso.
Mi sovvengono ora altri due titoli. Un'altra monografia che ho già consigliato in altre occasioni per la Teoria della Misura è quella di Benedetto-Czaja, Integration and modern analysis. Infine, altro punto di riferimento potrebbe essere l'Amann-Escher, trilogia piuttosto interessante (piuttosto affascinanti i capitoli conclusivi del terzo volume, dove si costruisce a mano una sigma-algebra e una misura per l'integrazione su varietà, cosa che io non ho mai trovato altrove).
Grazie ragazzi per avermi dato tutti questi consigli. Appena andrò in biblioteca sfoglierò tra tutti i libri consigliati e vedrò quali sono i più adatti per il mio programma di studio. Grazie ancora!!!
Grazie ragazzi per avermi dato tutti questi consigli. Appena andrò in biblioteca sfoglierò tra tutti i libri consigliati e vedrò quali sono i più adatti per il mio programma di studio. Grazie ancora!!!
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