Spazi metrici,intervalli aperti e intorni circolari
Salve ragazzi
Studiando analisi 2 ho incontrato alcune difficoltà sugli spazi metrici.
Il libro dice che in ogni intervallo aperto di R^n è contenuto un cerchio aperto ad esso concentrico,
e che in ogni cerchio aperto di R^n é contenuto un intervallo aperto ad esso concentrico.
Il problema é che non riesco a dimostrare tali affermazioni o almeno sono riuscito a dimostrare solo che
per ogni intervallo aperto esiste un cerchio aperto che lo contiene.Spero possiate aiutarmi.
Studiando analisi 2 ho incontrato alcune difficoltà sugli spazi metrici.
Il libro dice che in ogni intervallo aperto di R^n è contenuto un cerchio aperto ad esso concentrico,
e che in ogni cerchio aperto di R^n é contenuto un intervallo aperto ad esso concentrico.
Il problema é che non riesco a dimostrare tali affermazioni o almeno sono riuscito a dimostrare solo che
per ogni intervallo aperto esiste un cerchio aperto che lo contiene.Spero possiate aiutarmi.
Risposte
Ciao lor_fra 
Immagino che per cerchio aperto tu intenda un insieme del tipo
\[B(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_2<\varepsilon \}\qquad (x_0\in\mathbb{R}^n,\ \varepsilon>0)\]
essendo $"||"\cdot "||"_2$ la norma euclidea su $RR^n$.
Quali sono le difficoltà che incontri?
Immagino che per cerchio aperto tu intenda un insieme del tipo
\[B(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_2<\varepsilon \}\qquad (x_0\in\mathbb{R}^n,\ \varepsilon>0)\]
essendo $"||"\cdot "||"_2$ la norma euclidea su $RR^n$.
Quali sono le difficoltà che incontri?
Ciao Plepp
Il libro la chiama distanza euclidea su R^n(scusa ma usando il telefono non so come scrivere la notazione esatta).
Comunque tale distanza euclidea la indica con dn(x,y) ed é uguale alla radice della sommatoria di i che va da 1 a n di (xi-yi)^2.
Quindi per cerchio aperto di centro x0 e raggio r intendo l insieme :
Br(x0)={x€R^n:dn(x,x0)
Il libro la chiama distanza euclidea su R^n(scusa ma usando il telefono non so come scrivere la notazione esatta).
Comunque tale distanza euclidea la indica con dn(x,y) ed é uguale alla radice della sommatoria di i che va da 1 a n di (xi-yi)^2.
Quindi per cerchio aperto di centro x0 e raggio r intendo l insieme :
Br(x0)={x€R^n:dn(x,x0)
lor_fra, due domande: quale libro e cosa intendi per "intervallo aperto"? Perché in $RR^n$ il concetto di intervallo non ha molto senso (lo ha su $RR$), mentre quello che si può definire è la sua "generalizzazione", detta "pluriintervallo" cioè il prodotto cartesiano di $n$ intervalli aperti.
P.S.: quella che Plepp chiama distanza Euclidea è esattamente la distanza $d_n$ che definisci tu.
P.S.: quella che Plepp chiama distanza Euclidea è esattamente la distanza $d_n$ che definisci tu.
Ciao ciampax
Sto studiando sul Marcellini Sbordone Fusco analisi 2 le affermazioni che non riesco a dimostrare le dice a pag 79 e dice anche che si verificano facilmente
.....comunque ti riporto la definizione di intervallo aperto di R^n che da,
Fissati a=(a1,....,an) e b=(b1,....,bn) l insieme
(a,b)={(x1,....,xn)€R^n : ai
Sto studiando sul Marcellini Sbordone Fusco analisi 2 le affermazioni che non riesco a dimostrare le dice a pag 79 e dice anche che si verificano facilmente
.....comunque ti riporto la definizione di intervallo aperto di R^n che da,Fissati a=(a1,....,an) e b=(b1,....,bn) l insieme
(a,b)={(x1,....,xn)€R^n : ai
@ciampax: credo[nota]Credevo: non avevo letto l'ultimo messaggio 
[/nota] che l'OP si riferisca a quelli che tu chiami pluriintervalli. In effetti, studiando qualcosina di teoria della misura, mi è sembrato che spesso e volentieri si affibbi il nome di intervallo a un prodotto del tipo
\[\prod_{k=1}^n I_k\]
dove $I_k$ è un non meglio precisato intervallo di $RR$, e che per pluriintervallo s'intenda un'unione di insiemi di questo tipo.
[ot]Era da un po' che non ti "incrociavo" qui sul forum, è un piacere[/ot]
@lor_fra: quello che non capisco è questo: il libro chiama aperti gli intervalli aperti "per sport" o perché ha effettivamente fatto notare che si tratta di sottoinsiemi aperti di $(RR^n,d_n)$?
Nel secondo caso, lo credo bene che un intervallo aperto contenga dei cerchi aperti! (e in particolare che contenga un cerchio aperto concentrico)
[/nota] che l'OP si riferisca a quelli che tu chiami pluriintervalli. In effetti, studiando qualcosina di teoria della misura, mi è sembrato che spesso e volentieri si affibbi il nome di intervallo a un prodotto del tipo\[\prod_{k=1}^n I_k\]
dove $I_k$ è un non meglio precisato intervallo di $RR$, e che per pluriintervallo s'intenda un'unione di insiemi di questo tipo.
[ot]Era da un po' che non ti "incrociavo" qui sul forum, è un piacere
[/ot]@lor_fra: quello che non capisco è questo: il libro chiama aperti gli intervalli aperti "per sport" o perché ha effettivamente fatto notare che si tratta di sottoinsiemi aperti di $(RR^n,d_n)$?
Nel secondo caso, lo credo bene che un intervallo aperto contenga dei cerchi aperti! (e in particolare che contenga un cerchio aperto concentrico)
Ciao Plepp... sì, ho avuto da fare, ogni tanto sparisco per lunghi periodi.
Come dicevo, lor_fra, effettivamente quelli che chiami intervalli sono i pluriintervalli che dico io. Bé, a questo punto la cosa è banale:
1) Dato il tuo intervallo, è facile convincersi che il punto $x_0\in RR^n$ di coordinate $x_0^i=\frac{a_i+b_i}{2}$ sia il suo centro (l'intervallo come lo definisci risulta un "parallelepipedo" privato del bordo);
2) se definisci con $d="sup"_{x_1,\ x_2\in (a,b)} d_n(x_1,x_2)$ il massimo della distanza tra due punti nell'intervallo, detto diametro (in realtà si può dimostrare che $d=d_n(a,b)$... perché?), allora qualsiasi cerchio di centro il punto $x_0$ e raggio $r>d/2$ contiene il tuo intervallo (consiglio: fai la prova in $RR^2$).
Il viceversa è banalmente vero: basta fare in modo che l'intervallo abbia estremi la cui distanza sia minore del diametro del cerchio.
Come dicevo, lor_fra, effettivamente quelli che chiami intervalli sono i pluriintervalli che dico io. Bé, a questo punto la cosa è banale:
1) Dato il tuo intervallo, è facile convincersi che il punto $x_0\in RR^n$ di coordinate $x_0^i=\frac{a_i+b_i}{2}$ sia il suo centro (l'intervallo come lo definisci risulta un "parallelepipedo" privato del bordo);
2) se definisci con $d="sup"_{x_1,\ x_2\in (a,b)} d_n(x_1,x_2)$ il massimo della distanza tra due punti nell'intervallo, detto diametro (in realtà si può dimostrare che $d=d_n(a,b)$... perché?), allora qualsiasi cerchio di centro il punto $x_0$ e raggio $r>d/2$ contiene il tuo intervallo (consiglio: fai la prova in $RR^2$).
Il viceversa è banalmente vero: basta fare in modo che l'intervallo abbia estremi la cui distanza sia minore del diametro del cerchio.
@ciampax: mi hai preceduto
@lor_fra: Allora?
In ogni modo, per ogni $x=(x^1,..., x^n)\in RR^n$ valgono le disuguaglianze[nota]Semplici da dimostrare.[/nota]
\[\|x\|_\infty \le \|x\|_2\le \sqrt{n} \|x\|_\infty \tag{M}\]
ove $"||"x"||"_\infty:="max"_i |x^i|$ denota la norma uniforme di $x$. Come detto, un cerchio aperto di centro $x_0\in RR^n$ e raggio $\epsilon>0$ è una roba del genere:
\[B_2(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_2<\varepsilon \}\]
Invece, un insieme del tipo
\[B_\infty(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_\infty<\varepsilon \}\]
è un "cubo $n$-dimensionale" di centro $x_0$ e lato $2\epsilon$:[nota]E "facce" parallele agli iperpiani coordinati.[/nota]
\[B_\infty(x_0;\varepsilon)=(x_0^1-\varepsilon,x_0^1+\varepsilon)\times \cdots \times (x_0^n-\varepsilon,x_0^n+\varepsilon)\]
In particolare si tratta di un intervallo aperto di $RR^n$.[nota]Tuttavia, chiaramente, non tutti gli intervalli si possono scrivere in questa forma. Per intenderci, sia $n=2$: gli intervalli aperti di $RR^2$ sono tutti e soli i rettangoli privati del bordo con lati paralleli agli assi coordinati; dunque tutti gli insiemi del tipo $B_\infty(x_0;\epsilon)$, essendo dei quadrati privati del bordo con lati paralleli agli assi, sono intervalli aperti, ma non è vero il viceversa.[/nota]
Tornando al tuo quesito: dovresti convincerti facilmente che, in entrambi gli esercizi, puoi limitarti a considerare intervalli di questo tipo. Fatto questo, dalla $"(M)"$ potresti arrivare immediatamente alla conclusione
@lor_fra: Allora?
In ogni modo, per ogni $x=(x^1,..., x^n)\in RR^n$ valgono le disuguaglianze[nota]Semplici da dimostrare.[/nota]
\[\|x\|_\infty \le \|x\|_2\le \sqrt{n} \|x\|_\infty \tag{M}\]
ove $"||"x"||"_\infty:="max"_i |x^i|$ denota la norma uniforme di $x$. Come detto, un cerchio aperto di centro $x_0\in RR^n$ e raggio $\epsilon>0$ è una roba del genere:
\[B_2(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_2<\varepsilon \}\]
Invece, un insieme del tipo
\[B_\infty(x_0;\varepsilon)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon \|x-x_0\|_\infty<\varepsilon \}\]
è un "cubo $n$-dimensionale" di centro $x_0$ e lato $2\epsilon$:[nota]E "facce" parallele agli iperpiani coordinati.[/nota]
\[B_\infty(x_0;\varepsilon)=(x_0^1-\varepsilon,x_0^1+\varepsilon)\times \cdots \times (x_0^n-\varepsilon,x_0^n+\varepsilon)\]
In particolare si tratta di un intervallo aperto di $RR^n$.[nota]Tuttavia, chiaramente, non tutti gli intervalli si possono scrivere in questa forma. Per intenderci, sia $n=2$: gli intervalli aperti di $RR^2$ sono tutti e soli i rettangoli privati del bordo con lati paralleli agli assi coordinati; dunque tutti gli insiemi del tipo $B_\infty(x_0;\epsilon)$, essendo dei quadrati privati del bordo con lati paralleli agli assi, sono intervalli aperti, ma non è vero il viceversa.[/nota]
Tornando al tuo quesito: dovresti convincerti facilmente che, in entrambi gli esercizi, puoi limitarti a considerare intervalli di questo tipo. Fatto questo, dalla $"(M)"$ potresti arrivare immediatamente alla conclusione
Grazie mille ad entrambi
Per poter risolvere la dimostrazione da quello che ho capito serve il concetto di norma,sfogliando il libro ho visto che lo spiega nelle pagine seguenti.Comunque per la dimostrazione era solo una mia curiositá,mi era venuto il dubbio studiando i punti di accumulazione quando il libro afferma che un punto interno ad un sottoinsieme A di R^n è di accumulazione per A.
Se un punto è interno ad A allora esiste un intorno circolare incluso ad A ma questo non implica che per ogni intorno I di x si ha che I intersecato A-{X} é diverso dall insieme vuoto.
Ma se ogni intorno circolare contiene un intervallo aperto allora ogni intorno circolare contiene infiniti punti e si ha che I intersecato a A-{x} è sicuramente diverso dall insieme vuoto per ogni intorno di x.(ipotozzando che x é interno ad A)
Per questo ci tenevo alla dimostrazione del teorema che ho scritto nella domanda.
Spero di non aver scritto cretinate vista l ora
e grazie ancora per le risposte
Per poter risolvere la dimostrazione da quello che ho capito serve il concetto di norma,sfogliando il libro ho visto che lo spiega nelle pagine seguenti.Comunque per la dimostrazione era solo una mia curiositá,mi era venuto il dubbio studiando i punti di accumulazione quando il libro afferma che un punto interno ad un sottoinsieme A di R^n è di accumulazione per A.
Se un punto è interno ad A allora esiste un intorno circolare incluso ad A ma questo non implica che per ogni intorno I di x si ha che I intersecato A-{X} é diverso dall insieme vuoto.
Ma se ogni intorno circolare contiene un intervallo aperto allora ogni intorno circolare contiene infiniti punti e si ha che I intersecato a A-{x} è sicuramente diverso dall insieme vuoto per ogni intorno di x.(ipotozzando che x é interno ad A)
Per questo ci tenevo alla dimostrazione del teorema che ho scritto nella domanda.
Spero di non aver scritto cretinate vista l ora
e grazie ancora per le risposte
"lor_fra":
Grazie mille ad entrambi
Per poter risolvere la dimostrazione da quello che ho capito serve il concetto di norma sfogliando il libro ho visto che lo spiega nelle pagine seguenti.
Mh, in realtà no
Mi sembra più che sufficiente l'approccio di ciampax, che però dovrebbe aver avuto una svista (quel $d$ non è ben definito: il $"max"$ è in realtà un $"sup"$). Se non altro le norme ti facilitano le cose "lor_fra":
il libro afferma che un punto interno ad un sottoinsieme A di R^n è di accumulazione per A.
Se un punto è interno ad A allora esiste un intorno circolare incluso ad A ma questo non implica che per ogni intorno I di x si ha che I intersecato A-{X} é diverso dall insieme vuoto.
Ma se ogni intorno circolare contiene un intervallo aperto allora ogni intorno circolare contiene infiniti punti e si ha che I intersecato a A-{x} è sicuramente diverso dall insieme vuoto per ogni intorno di x.(ipotozzando che x é interno ad A)
Non capisco: se il tuo $A\subseteq RR^n$ contiene un intorno circolare $B$ di $x_0$, è automatico[nota]In realtà così automatico non è, ma in uno spazio "buono" come $RR^n$ e quindi uno spazio normato, lo si può concludere immediatamente: basta osservare che ogni intorno circolare di $x_0$ di raggio $\epsilon>0$ contiene un punto distinto da $x_0$ (per esempio, $x_0+\epsilon/2 v$ con $v\in RR^n$ di modulo unitario).[/nota] che ogni intorno $U$ di $x_0$ sia tale che $U\cap A\setminus\{x_0\}\ne \emptyset$. Insomma: a che ti serve sapere che $B$ contiene un intervallo aperto?!
Sì, il $\max$ è un $"sup"$, in realtà. Grazie, ho anche corretto.
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