Spazi metrici - parte interna, chiusura, ecc.

[gatsu1]

Ciao a tutti,

su una dispensa che introduce all'analisi funzionale c'è un capitolo preliminare che parla di spazi metrici, qui c'è un esempio che non mi torna. P.S. questa dispensa è una versione preliminare e potrebbero esserci degli errori...quindi vi chiedo consiglio per essere più sicuro.

ESEMPIO.

La parte interna, il bordo e la chiusura di un insieme $A$ sono concetti relativi ad uno spazio metrico ambiente $(X,d)$; per evitare ambiguità bisognerebbe ad esempio dire la chiusura di $A$ in $(X,d)$.

Quindi se consideriamo 2 spazi ambiente

$X = RR^3$

$Y={x in RR^3 : x_3 = 0, x_2<1}$

e consideriamo un insieme $A$ che può essere pensato come un sottoinsieme sia di $X$ sia di $Y$

$A={x in RR^3 : x_3 = 0, 0<=x_1<1, 0<=x_2<1}$

avremo la parte interna di $A$

$A^\circ = {x in RR^3 : x_3 = 0, 0
$A^\circ = \varphi$ in $X$

e la chiusura di $A$

$\bar A = {x in RR^3 : x_3 = 0, 0<=x_1<1, 0<=x_2<1}$ in $Y$

$\bar A = {x in RR^3 : x_3 = 0, 0<=x_1<1, 0<=x_2<1}$ in $X$
--------------------

Mi tornato tutti tranne $A^\circ = \varphi$ in $X$...se $X$ è tutto $RR^3$ perchè la chiusura di $A$ è vuota ???

[gugo82]

L'interno è vuoto perché \(A\) (un quadrato tracciato sul piano coordinato \(Ox_1x_2\)) non contiene nessun intorno sferico di \(\mathbb{R}^3\).

[gatsu1]

Grazie per la risposta...però per vedere se ho capito ho bisogno di qualche altra conferma.

1) Cioè, la parte interna $A^\circ$ in $Y$ è tale solo perchè in $Y$ ho $x_3=0$ ??? Sarebbe come ragionare su una palla in $RR^2$, giusto ???

2) Quindi se $Y$ fosse stato $Y={x in RR^3 : x_1<1,x_2<1,x_3<1}$ avrei avuto $A^\circ = \varphi$ in $Y$ per la stessa ragione ???

3) Se $X$ fosse stato $X = RR$ la parte interna $A^\circ$ in $X$ sarebbe stata $A^\circ = {x in RR : 0

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[vict85]

\(Y\) è omeomorfo (anzi direi diffeomorfo[nota]Di fatto la funzione è analitica ma direi che mi fermo a diffeomorfa.[/nota]) al semipiano negativo di \(\mathbb{R}^2\). Insomma basta usare la trasformazione \(f\colon (x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1,x_2-1)\) con inversa \(\displaystyle (x_1,x_2) \mapsto (x_1, x_2+1, 0) \).

Siccome \(\displaystyle A\subset Y \) allora \(\displaystyle fA\subset \mathbb{R}^2 \) e \(f\) è un omeomorfismo da \(A\) alla sua immagine. È evidente che lavorare con la coppia \(\displaystyle (Y,A) \) e la stessa cosa che usare la coppia \(\displaystyle (fY,fA) \).

Ovviamente si ha che \(\displaystyle fA = \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x_1<1,\; -1\le x_2 < 0 \} \) (ricordati che ho fatto una traslazione di \(\displaystyle x_2 \)). L'identificazione dei vari elementi è facile.

Veniamo invece alla coppia \(\displaystyle (X,A) \). \(\displaystyle A \) possiede un interno se esiste \(\displaystyle U \) aperto di \(\displaystyle X \) tale che \(\displaystyle U\cap A = U \). Ma questo è impossibile perché il primo è omeomorfo ad un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) (come usare i cannoni per dimostrare una cavolata). In modo meno astratto, si può supporre senza perdita di generalità che \(U\) sia una palla aperta e mostrare materialmente che \(\displaystyle U\cap A \neq U \) portando all'assurdo.