Spazi metrici, normati, pre-Hilbertiani e di Hilbert

[Lord Rubik]

Buongiorno!
Ho $L^2(mu)={f:XrarrCC:int_X |f|^2 dmu<+infty}$, dove $(X,M,mu)$ è uno spazio di misura positiva.
Date $f,g in L^2(mu)$ definiamo:
$(f,g)=int_X fbarg$ $d(mu)$.
Dobbiamo provare che se $f$ e $g$ $in L^2(mu)$ allora $fbarg$ è sommabile.
Ma per Holder è:
$(f,g)=int_X |fbarg|$ $d(mu)=$ $int_X |fg|$ $d(mu)<=$ $(int_X |f|^2 d(mu))^(1/2)$ $(int_X |g|d(mu))^(1/2)$.
Dunque $f,g in L^2(mu)=>fg in L^1(mu)$.

Cioè, non ci ho capito niente...
Ci sono più cose che non mi sono chiare, quindi:
1 $barg$ che cosa è?
2 Cosa vuol dire che $fbarg$ è sommabile?
3 $int_X |fbarg|$ $d(mu)=$ $int_X |fg|$ $d(mu)$, perché vi è l'uguaglianza? (penso che lo capirò una volta chiarito $barg$ cosa è...)
4 Perché $f,g in L^2(mu)=>fg in L^1(mu)$?

[walter891]

siamo in campo complesso: quindi $\bar(g)$ è la funzione coniugata di $g$

[Demostene92]

1) Ti ha risposto walter89
2) In generale, lo spazio vettoriale delle funzioni $text{p - sommabili}$ indicato anche come lo spazio delle funzioni $text{p - integrabili}$ è composto da tutte le funzioni $f$ soddisfacenti la condizione:

$\int_{-\infty}^(+\infty)|f(x)|^pdx=l < \infty$.

Di conseguenza, nel tuo caso, dovendo dimostrare che $f\barg$ è sommabile, devi far vedere che:

$\int_{-\infty}^(+\infty)|f(x)\bar(g)(x)|dx<\infty$.

3) Essendo $\barg$ il coniugato di $g$...

4) Dall'ipotesi di appartenenza a $L^2$, se prendi la relazione $$ che hai giustamente scritto, il secondo membro della disuguaglianza è sicuramente finito e di conseguenza anche l'integrale del modulo del prodotto è finito. Ma allora $fg \in L^1$.

[Lord Rubik]

Grazie per le risposte!
Mi son ricordato che $barg$ è il coniugato di $g$. Mi ero dimenticato che stiamo in $CC$!
Di conseguenza ho capito anche l'uguaglianza tra integrali.
Alla fine mi serviva solo la definizione di $fbarg$ sommabile.
Per quanto riguarda 4 ho capito che è una diretta conseguenza della disuguaglianza di Hölder.
Comunque siete stati gentilissimi!!! Grazie a infinite!!!