Spazi metrici e differenziabilità
Salve a tutti, sto cercando di trovare una relazione, se possibile, fra spazio metrico e differenziabilità. Ovviamente non è nulla di importante ma solo per capire se fra le due cose esiste un nesso.
Partiamo dalla definizione di spazio metrico:
Sia $X$ un insieme di $R^n$. Si dice metrica in X una funzione $d$ che ad ogni coppia di punti $x,y € X$ associa il numero $d(x,y)$ intesa come distanza fra $x$ e $y$, con le seguenti proprietà:
1)$d(x,y)\geq0$,$d(x,y)=0 <=> x=y$
2)$d(x,y)=d(y,x)$
3)$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$
la coppia $(X,d)$ è uno spazio metrico.
Supponiamo ora:
i)$f:X->Y$ con $ XsubeR^n $ e $Ysube R^m$
ii)$f€C^1$
dal teorema sulla differenziabilità di una funzione sappiamo che $f(x)$ risulta differenziabile nel punto $x_0$ se è derivabile in quel punto e se:
$lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0)-)/(||x-x_0||)=0$
da cui segue immediatamente che se la funzione è differenziabile è dunque derivabile nel suo dominio ed è anche continua.
Ma queste condizioni sono esattamente le proprietà 1) e 2) e 3) richieste dalla definizione di spazio metrico.
infatti al tendere di $x$ ad $x_0$ anche f(x)->f(x_0) e scelto un $epsilon,delta_(epsilon)>0$ si può sempre verificare che $f(x)-f(x_0)=f(x_n)-f(x_(n-1))=0$ perchè $xn=x_0=x_(n-1)$ se $n->inf$, e inoltre risulta che è a maggior ragione $(X,Y)$ sono spazi completi.
Quindi , in conclusione, se una funzione è differenziabile nel suo dominio allora è sempre possibile indurre una metrica per $YsubeR^m$, e ,a maggior ragione , ad $XsubeR^n$ dato che $R^n$ è sempre completo e , viceversa, se $Y$ è uno spazio metrico ed è completo è allora anche possibile introdurre il concetto di differenziabilità?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Partiamo dalla definizione di spazio metrico:
Sia $X$ un insieme di $R^n$. Si dice metrica in X una funzione $d$ che ad ogni coppia di punti $x,y € X$ associa il numero $d(x,y)$ intesa come distanza fra $x$ e $y$, con le seguenti proprietà:
1)$d(x,y)\geq0$,$d(x,y)=0 <=> x=y$
2)$d(x,y)=d(y,x)$
3)$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$
la coppia $(X,d)$ è uno spazio metrico.
Supponiamo ora:
i)$f:X->Y$ con $ XsubeR^n $ e $Ysube R^m$
ii)$f€C^1$
dal teorema sulla differenziabilità di una funzione sappiamo che $f(x)$ risulta differenziabile nel punto $x_0$ se è derivabile in quel punto e se:
$lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0)-
da cui segue immediatamente che se la funzione è differenziabile è dunque derivabile nel suo dominio ed è anche continua.
Ma queste condizioni sono esattamente le proprietà 1) e 2) e 3) richieste dalla definizione di spazio metrico.
infatti al tendere di $x$ ad $x_0$ anche f(x)->f(x_0) e scelto un $epsilon,delta_(epsilon)>0$ si può sempre verificare che $f(x)-f(x_0)
Quindi , in conclusione, se una funzione è differenziabile nel suo dominio allora è sempre possibile indurre una metrica per $YsubeR^m$, e ,a maggior ragione , ad $XsubeR^n$ dato che $R^n$ è sempre completo e , viceversa, se $Y$ è uno spazio metrico ed è completo è allora anche possibile introdurre il concetto di differenziabilità?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Risposte
Nella definizione di prodotto scalare che hai scritto compaiono un prodotto scalare e una norma; come li definisci in uno spazio metrico (senza alcuna altra struttura)?
induco la definizine di prodotto scalare e di norma in quella di spazio metrico?
quindi spazio di Hilbert
"Sciarra":
induco la definizine di prodotto scalare e di norma in quella di spazio metrico?
Purtroppo le cose funzionano al contrario.
Da un prodotto scalare puoi indurre in maniera canonica una norma, e da questa puoi indurre in maniera canonica una metrica. Procedere in maniera inversa non è, in generale, possibile.
ti ringrazio per le risposte tempestive ed esaurienti.
Quindi l' ordine sarebbe questo: parto dalla definizione di spazio vettoriale in cui è definito il prodotto scalare, da cui segue la norma, da cui uno spazio metrico e, se lo spazio metrico risulta completo, posso introdurre il concetto di differenziabilità?
Quindi l' ordine sarebbe questo: parto dalla definizione di spazio vettoriale in cui è definito il prodotto scalare, da cui segue la norma, da cui uno spazio metrico e, se lo spazio metrico risulta completo, posso introdurre il concetto di differenziabilità?
Non esattamente.
Per definire il concetto di differenziabilità ti basta uno spazio normato (non c'è bisogno di un prodotto scalare).
Vedrai in maggior dettaglio queste cose nei corsi successivi di analisi.
Per definire il concetto di differenziabilità ti basta uno spazio normato (non c'è bisogno di un prodotto scalare).
Vedrai in maggior dettaglio queste cose nei corsi successivi di analisi.
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