Spazi metrici compatti e funzioni continue.
Riporto una parte di un teorema per risolvere un dettaglio.
Siano '' $X_1$ '' e '' $X_2$ '' spazi metrici. Sia '' $f:X_1toX_2$ '' continua in '' $X_1$ ''. Se '' $X_1$ '' è compatto, allora anche '' $f(X_1)$ '' è compatto.
DIMOSTRAZIONE ( una parte ).
Sia '' ${A_i}_(iinI)$ '', ove '' $A_1subX_2,AAi$ '', una copertura aperta di '' $f(X_1)$ ''. Si ha:
$f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$. Di conseguenza:
$X_1=f^-1(uuu_(iinI)A_i)=uuu_(iinI)f^-1(A_i)$. ( 7.5.2 ).
La prima eguaglianza ( in '' 7.5.2 '' ) vale perché '' $X_1$ '' non può essere propriamente contenuto in un suo sottoinsieme. Poniamo '' $V_i=f^-1(A_i)$ ''. Per un teorema precedente ogni insieme '' $V_i$ '' è aperto e per '' 7.5.2 '' la famiglia '' ${V_i}_(iinI)$ '' costituisce una copertura aperta di '' $X_1$ ''. Esistono quindi '' $n$ '' insiemi della famiglia, siano essi '' $V_(i1),V_(i2),...,V_(in)$ '' tali che '' $X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$ ''.
Bene, fermiamoci. Due domande:
1- '' $X_1$ '' è compatto, quindi chiuso. Come fa ad essere uguale a '' $f^-1(uuu_(iinI)A_i)$ '' che è aperto?
2- $X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$. Questo è un sottoinsieme di '' $uuu_(iinI)f^-1(A_i)$ '' dal quale si escludono certi elementi di quest'ultimo ( da un insieme di infiniti aperti ad uno con finiti aperti ). Com'è possibile che '' $X_1$ '' rimanga uguale ad un insieme più piccolo ( escludendo elementi da '' $uuu_(iinI)f^-1(A_i)$ '', per ricavare la sottocopertura finita, si escludono anche da '' $X_1$ '' )?
Possibili risposte:
- '' $X_1$ '' essendo '' tutto '' è sia aperto che chiuso. qundi nonostante la compattezza è anche aperto, da cui l'uguaglianza. Tuttavia non si spiega come faccia ad equivalere ad un suo sottoinsieme ( sottocopertura finita ) che esclude elementi da esso.
- '' $X_1$ '' compatto, quindi limitato. Allora: $X_1subY$. Con '' $(Y,d)$ '' spazio metrico. Sappiamo che '' $f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$ '', ovvero l'immagine di '' $X_1$ '' è contenuta in '' $uuu_(iinI)A_i$ ''. Allora in '' $(X_2)$ '' possono esserci elementi che la funzione non può applicare a quelli di '' $X_1$ ''. La controimmagine potrebbe contenere elementi che non appartengono a '' $X_1$ '' ma a '' $Y$ ''. Ma se operiamo in '' $X_1$ '', siccome questo non può essere superato da un suo sottoinsieme proprio abbiamo che in '' $X_1$ '': $X_1=f^-1(uuu_(iinI)A_i)$. Insomma,ci sono degli elementi della copertura di '' $X_1$ '' che non appartengono a questo, ma in questo spazio metrico non sono rilevabili, quindi la controimmagine di '' $f$ '' rende elementi contenuti in '' $X_1$ '', nell'ambito di '' $X_1$ ''. Invece in '' $Y$ '' quell'insieme ( della controimmagine ) supera '' $X_1$ ''.
Estraendo la sottocopertua finita abbiamo che '' $X_1$ '' viene eguagliato sia operando in '' $X_1$ '' che operando in '' $Y$ ''.
Mi chiedo se è stato risolto tale dettaglio.
Siano '' $X_1$ '' e '' $X_2$ '' spazi metrici. Sia '' $f:X_1toX_2$ '' continua in '' $X_1$ ''. Se '' $X_1$ '' è compatto, allora anche '' $f(X_1)$ '' è compatto.
DIMOSTRAZIONE ( una parte ).
Sia '' ${A_i}_(iinI)$ '', ove '' $A_1subX_2,AAi$ '', una copertura aperta di '' $f(X_1)$ ''. Si ha:
$f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$. Di conseguenza:
$X_1=f^-1(uuu_(iinI)A_i)=uuu_(iinI)f^-1(A_i)$. ( 7.5.2 ).
La prima eguaglianza ( in '' 7.5.2 '' ) vale perché '' $X_1$ '' non può essere propriamente contenuto in un suo sottoinsieme. Poniamo '' $V_i=f^-1(A_i)$ ''. Per un teorema precedente ogni insieme '' $V_i$ '' è aperto e per '' 7.5.2 '' la famiglia '' ${V_i}_(iinI)$ '' costituisce una copertura aperta di '' $X_1$ ''. Esistono quindi '' $n$ '' insiemi della famiglia, siano essi '' $V_(i1),V_(i2),...,V_(in)$ '' tali che '' $X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$ ''.
Bene, fermiamoci. Due domande:
1- '' $X_1$ '' è compatto, quindi chiuso. Come fa ad essere uguale a '' $f^-1(uuu_(iinI)A_i)$ '' che è aperto?
2- $X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$. Questo è un sottoinsieme di '' $uuu_(iinI)f^-1(A_i)$ '' dal quale si escludono certi elementi di quest'ultimo ( da un insieme di infiniti aperti ad uno con finiti aperti ). Com'è possibile che '' $X_1$ '' rimanga uguale ad un insieme più piccolo ( escludendo elementi da '' $uuu_(iinI)f^-1(A_i)$ '', per ricavare la sottocopertura finita, si escludono anche da '' $X_1$ '' )?
Possibili risposte:
- '' $X_1$ '' essendo '' tutto '' è sia aperto che chiuso. qundi nonostante la compattezza è anche aperto, da cui l'uguaglianza. Tuttavia non si spiega come faccia ad equivalere ad un suo sottoinsieme ( sottocopertura finita ) che esclude elementi da esso.
- '' $X_1$ '' compatto, quindi limitato. Allora: $X_1subY$. Con '' $(Y,d)$ '' spazio metrico. Sappiamo che '' $f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$ '', ovvero l'immagine di '' $X_1$ '' è contenuta in '' $uuu_(iinI)A_i$ ''. Allora in '' $(X_2)$ '' possono esserci elementi che la funzione non può applicare a quelli di '' $X_1$ ''. La controimmagine potrebbe contenere elementi che non appartengono a '' $X_1$ '' ma a '' $Y$ ''. Ma se operiamo in '' $X_1$ '', siccome questo non può essere superato da un suo sottoinsieme proprio abbiamo che in '' $X_1$ '': $X_1=f^-1(uuu_(iinI)A_i)$. Insomma,ci sono degli elementi della copertura di '' $X_1$ '' che non appartengono a questo, ma in questo spazio metrico non sono rilevabili, quindi la controimmagine di '' $f$ '' rende elementi contenuti in '' $X_1$ '', nell'ambito di '' $X_1$ ''. Invece in '' $Y$ '' quell'insieme ( della controimmagine ) supera '' $X_1$ ''.
Estraendo la sottocopertua finita abbiamo che '' $X_1$ '' viene eguagliato sia operando in '' $X_1$ '' che operando in '' $Y$ ''.
Mi chiedo se è stato risolto tale dettaglio.
Risposte
Inizio col primo dubbio: \(X_1\) è sia aperto che chiuso in se stesso!
Secondo dubbio: quella è la definizione di compattezza, cosa che hai richiamato da te! Ma che definizione di compattezza usi?
Chi sarebbe \(Y\)? 
Attenzione: per gli spazi metrici in generale non vale il teorema "compatto se e solo se chiuso e limitato"...
Secondo dubbio: quella è la definizione di compattezza, cosa che hai richiamato da te! Ma che definizione di compattezza usi?
Chi sarebbe \(Y\)? Attenzione: per gli spazi metrici in generale non vale il teorema "compatto se e solo se chiuso e limitato"...
Ciao! 
Ti ringrazio.
La definizione di compattezza sulla quale mi baso è la seguente: '' $EsubeX$ '' è compatto se da ogni sua copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura finita.
Lo so che '' insieme chiuso e limitato, quindi compatto '' vale per i sottoinsiemi di '' $RR^n$ ''. Altrimenti è da aggiungere la condizione: affinché l'insieme sia compatto, l'insieme derivato ( ovvero quello dei punti di accumulazione ) di ogni suo sottoinsieme non è vuoto. Ho solo messo in rilievo quanto serviva.
'' $Y$ '' è un'ipotesi della quale chiedo la correttezza. Principalmente i dubbi sono:
$X_1=uuu_{iinI}f^-1A_i$. (1).
Ovvero un compatto ( chiuso ma anche aperto in questo caso ) uguale ad un aperto.
$X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$. (2).
Il secondo insieme è una sottocopertura finita, quindi contenuta in '' $uuu_{k=1}^nV_(ik)$ ''; essa possiede elementi in meno, poiché si tratta di un insieme con numero finito di sottoinsiemi '' $V_i$ '' ( estratto dalla copertura aperta che possiede un numero infinito di sottoinsiemi ). Quindi data la prima eguaglianza come fa '' $X_1$ '' ad essere uguale ad un insieme più piccolo?
Lo spazio metrico '' $Y$ '' ( con condizione '' $X_1subY$ '' ) è stato un mio tentativo di risolvere il problema. Due '' punti di vista '':
1 - In '' $Y$ '': l'eguaglianza '' ( 1 ) '' diventa: $X_1subeuuu_{iinI}f^-1A_i$. (1). Infatti '' $f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$ '', quindi possono esserci elementi in '' $uuu_(iinI)A_i$ '' che la funzione non collega a quelli di '' $X_1$ '' ( mentre tutti quelli di '' $X_1$ '' hanno un'immagine in '' $Y$ '' ). Questi si trovano in '' $Y$ ''.
Si estrae la sottocopertura finita e si risolve ( ma non necessariamente in '' $Y$ '' la sottocopertura è uguale a '' $X_1$ '': può anche contenerlo ).
2 - In '' $X_1$ '': in questo vale l'eguaglianza '' ( 1 ) '' perché non può essere superato da un suo sottoinsieme proprio. La '' ( 2 ) '' continua a valere perché necessariamente la sottocopertura deve contenere tutti gli elementi di '' $X_1$ '', dato che è compatto. In '' $X_1$ '' la sottocopertura rispetto alla copertura non ha elementi in meno, ma ne ha in meno operando in '' $Y$ ''.
Questo intendevo.
Ti ringrazio.
La definizione di compattezza sulla quale mi baso è la seguente: '' $EsubeX$ '' è compatto se da ogni sua copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura finita.
Lo so che '' insieme chiuso e limitato, quindi compatto '' vale per i sottoinsiemi di '' $RR^n$ ''. Altrimenti è da aggiungere la condizione: affinché l'insieme sia compatto, l'insieme derivato ( ovvero quello dei punti di accumulazione ) di ogni suo sottoinsieme non è vuoto. Ho solo messo in rilievo quanto serviva.
'' $Y$ '' è un'ipotesi della quale chiedo la correttezza. Principalmente i dubbi sono:
$X_1=uuu_{iinI}f^-1A_i$. (1).
Ovvero un compatto ( chiuso ma anche aperto in questo caso ) uguale ad un aperto.
$X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$. (2).
Il secondo insieme è una sottocopertura finita, quindi contenuta in '' $uuu_{k=1}^nV_(ik)$ ''; essa possiede elementi in meno, poiché si tratta di un insieme con numero finito di sottoinsiemi '' $V_i$ '' ( estratto dalla copertura aperta che possiede un numero infinito di sottoinsiemi ). Quindi data la prima eguaglianza come fa '' $X_1$ '' ad essere uguale ad un insieme più piccolo?
Lo spazio metrico '' $Y$ '' ( con condizione '' $X_1subY$ '' ) è stato un mio tentativo di risolvere il problema. Due '' punti di vista '':
1 - In '' $Y$ '': l'eguaglianza '' ( 1 ) '' diventa: $X_1subeuuu_{iinI}f^-1A_i$. (1). Infatti '' $f(X_1)subeuuu_(iinI)A_i$ '', quindi possono esserci elementi in '' $uuu_(iinI)A_i$ '' che la funzione non collega a quelli di '' $X_1$ '' ( mentre tutti quelli di '' $X_1$ '' hanno un'immagine in '' $Y$ '' ). Questi si trovano in '' $Y$ ''.
Si estrae la sottocopertura finita e si risolve ( ma non necessariamente in '' $Y$ '' la sottocopertura è uguale a '' $X_1$ '': può anche contenerlo ).
2 - In '' $X_1$ '': in questo vale l'eguaglianza '' ( 1 ) '' perché non può essere superato da un suo sottoinsieme proprio. La '' ( 2 ) '' continua a valere perché necessariamente la sottocopertura deve contenere tutti gli elementi di '' $X_1$ '', dato che è compatto. In '' $X_1$ '' la sottocopertura rispetto alla copertura non ha elementi in meno, ma ne ha in meno operando in '' $Y$ ''.
Questo intendevo.
Invece in '' $Y$ '' quell'insieme ( della controimmagine ) supera '' $X_1$ '
Questo è proprio impossibile per la definizione di controimmagine, gli elementi della controimmagine di un insieme $ Asube Imf $ sono per definizione elementi del dominio di f, cioè elementi di $ X_1 $ . E non ha senso parlare di un insieme Y in cui X è incluso, altrimenti l'avrebbero scritto nel teorema. Ti stai complicando la vita, in realtà mi sembra il tutto molto più sempilce, non c'è bisogno di mettere in mezzo questioni di chiuso e limitato etc.
Questo è proprio impossibile per la definizione di controimmagine, gli elementi della controimmagine di un insieme $ Asube Imf $ sono per definizione elementi del dominio di f, cioè elementi di $ X_1 $ . E non ha senso parlare di un insieme Y in cui X è incluso, altrimenti l'avrebbero scritto nel teorema. Ti stai complicando la vita, in realtà mi sembra il tutto molto più sempilce, non c'è bisogno di mettere in mezzo questioni di chiuso e limitato etc.
Com'è possibile che '' $X_1$ '' rimanga uguale ad un insieme più piccolo ( escludendo elementi da '' $uuu_(iinI)f^-1(A_i)$ '', per ricavare la sottocopertura finita, si escludono anche da '' $X_1$ '' )?
E' possibilissimo. E' possibile che un insieme 'togliendo degli elementi' resti uguale. Ad esempio, se $ Bsube A $ , $ Auu B=A $, cioè eliminando B, l'insieme resta uguale. Da $ uu f^-1(A_i) $ si eliminano evidentemente dei sottoinsiemi già contenuti nei $ V_(ik) $ , cioè , per così dire degli insiemi 'inutili' nel ricoprimento. Io la vedo così.
E' possibilissimo. E' possibile che un insieme 'togliendo degli elementi' resti uguale. Ad esempio, se $ Bsube A $ , $ Auu B=A $, cioè eliminando B, l'insieme resta uguale. Da $ uu f^-1(A_i) $ si eliminano evidentemente dei sottoinsiemi già contenuti nei $ V_(ik) $ , cioè , per così dire degli insiemi 'inutili' nel ricoprimento. Io la vedo così.
Ciao!
Grazie per le risposte.
Però in questo caso mi sembra più una cosa del genere ( con un esempio semplice, giusto per capire ):
sia '' $X=A;ainX$ ''. Consideriamo '' $A-{a}$ ''. In questo caso diventa:
$A-{a}subX$.
Infatti la sottocopertura finita dovrebbe essere un sottoinsieme proprio della copertura aperta di '' $X_1$ ''.
Comunque, anche se non c'è scritto nell'enunciato, in linea di principio non dovrebbe essere sbagliato aggiungere l'ipotesi di '' $Y$ ''. Se '' $X_1$ '' è limitato è possibile che si trovi in un insieme ( con la stessa metrica ) che lo contiene. E da qui quanto prima spiegato.
Grazie per le risposte.
E' possibilissimo. E' possibile che un insieme 'togliendo degli elementi' resti uguale. Ad esempio, se B⊆A , A∪B=A, cioè eliminando B, l'insieme resta uguale. Da ∪f−1(Ai) si eliminano evidentemente dei sottoinsiemi già contenuti nei Vik , cioè , per così dire degli insiemi 'inutili' nel ricoprimento. Io la vedo così.
Però in questo caso mi sembra più una cosa del genere ( con un esempio semplice, giusto per capire ):
sia '' $X=A;ainX$ ''. Consideriamo '' $A-{a}$ ''. In questo caso diventa:
$A-{a}subX$.
Infatti la sottocopertura finita dovrebbe essere un sottoinsieme proprio della copertura aperta di '' $X_1$ ''.
Comunque, anche se non c'è scritto nell'enunciato, in linea di principio non dovrebbe essere sbagliato aggiungere l'ipotesi di '' $Y$ ''. Se '' $X_1$ '' è limitato è possibile che si trovi in un insieme ( con la stessa metrica ) che lo contiene. E da qui quanto prima spiegato.
"_GaS_":CIa0, di nulla!
Ciao!
Ti ringrazio...
"_GaS_":Se fai queste domande significa che non ti è ancora chiaro il concetto di insieme compatto!
...Principalmente i dubbi sono:
$X_1=uuu_{iinI}f^-1A_i$. (1).
Ovvero un compatto ( chiuso ma anche aperto in questo caso ) uguale ad un aperto.
$X_1=uuu_{k=1}^nV_(ik)$. (2).
Il secondo insieme è una sottocopertura finita, quindi contenuta in '' $uuu_{k=1}^nV_(ik)$ ''; essa possiede elementi in meno, poiché si tratta di un insieme con numero finito di sottoinsiemi '' $V_i$ '' ( estratto dalla copertura aperta che possiede un numero infinito di sottoinsiemi ). Quindi data la prima eguaglianza come fa '' $X_1$ '' ad essere uguale ad un insieme più piccolo?...
"_GaS_":
Ciao!
Grazie per le risposte.
E' possibilissimo. E' possibile che un insieme 'togliendo degli elementi' resti uguale. Ad esempio, se B⊆A , A∪B=A, cioè eliminando B, l'insieme resta uguale. Da ∪f−1(Ai) si eliminano evidentemente dei sottoinsiemi già contenuti nei Vik , cioè , per così dire degli insiemi 'inutili' nel ricoprimento. Io la vedo così.
Però in questo caso mi sembra più una cosa del genere ( con un esempio semplice, giusto per capire ):
sia '' $X=A;ainX$ ''. Consideriamo '' $A-{a}$ ''. In questo caso diventa:
$A-{a}subX$.
Ma ti confondi con l'operazione di differenza tra insiemi, non è questo il caso del teorema, qui si tolgono degli insiemi da una famiglia di sottoinsiemi, per avere una famiglia 'più piccola', finita, che ricopre anch'essa X_1.
Infatti la sottocopertura finita dovrebbe essere un sottoinsieme proprio della copertura aperta di '' $X_1$ ''.
Comunque, anche se non c'è scritto nell'enunciato, in linea di principio non dovrebbe essere sbagliato aggiungere l'ipotesi di '' $Y$ ''. Se '' $X_1$ '' è limitato è possibile che si trovi in un insieme ( con la stessa metrica ) che lo contiene. E da qui quanto prima spiegato.
Sì però diventa un'altro teorema, in questo teorema se Y non c'è, non c'è.
Se ti può intressare ti posto la dimostrazione che ho io di questo teorema sugli spazi metrici compatti, che forse è più stringata e semplice.
Forse ho capito quali sono i miei errori: '' $X_1$ '' è compatto per ipotesi ( quindi non è una condizione che va cercata ) e '' $uuu_{k=1}^nV_(ik)$ '' non è una sottocopertura di '' $uuu_(iinI)A_i$ ''.
Ovvero essendo '' $X_1$ '' compatto è racchiudibile a priori in un numero finito di insiemi. Soltanto che questa sottocopertura
e la copertura '' $uuu_(iinI)A_i$ '' coincidono.
Gabriella127 ti ringrazio per la grande disponibilità
. Comunque non postare la dimostrazione, perché voglio capire a fondo questa che sto trattando.
Grazie a te! 
Metto due esercizietti per provare a risolvere i miei dubbi.
1 - Sia '' $(Y,d)$ '' spazio metrico. Sia '' $(0,1)sub(Y,d)$ ''. Dimostrare che esiste almeno una copertura aperta dalla quale non si può estrarre una sottocopertura finita in modo tale che '' $(0,1)$ '' sia contenuto in questa sottocopertura.
Consideriamo ( per comodità ) la copertura aperta di '' $(0,1)$ '': $uuu_{n=1}^(+oo)(1/n,1)=(0,1)$.
Consideriamo un insieme finito di indici: $A={1,...,k}$. Sia '' $k=maxA$ ''. Allora: $uuu_{n=1}^k(1/n,1)=(1/k,1)$.
Ne segue che: '' $(0,1/k]$ '' non appartiene a '' $uuu_{n=1}^k(1/n,1)$ ''. Quindi abbiamo trovato una copertura aperta dalla quale non si può estrarre una sottocopertura finita che contenga '' $(0,1)$ ''. Quindi esso non è compatto.
2 - Sia '' $(X,d)=(0,1)$ '' spazio metrico euclideo. Cercare la stessa cosa di prima.
Esso è chiuso e aperto in se stesso ( siccome è anche chiuso potrebbe essere compatto, poiché le altre due condizioni sono verificate ). Può essere compatto? Se sì devo pensare ad una particolare copertura dalla quale estrarre una sottocopertura finita. Se no allora cambio esercizio provando a considerare '' $(X,d)=[0,1]$ ''.
Però in questo caso mi collego al problema iniziale del post, dove mi trovo con una copertura aperta equivalente a '' $[0,1]$ ''. Può essere considerata aperta in virtù del fatto che '' $[0,1]$ '' è aperto e chiuso in se stesso? Se sì il problema è risolto.
1 - Sia '' $(Y,d)$ '' spazio metrico. Sia '' $(0,1)sub(Y,d)$ ''. Dimostrare che esiste almeno una copertura aperta dalla quale non si può estrarre una sottocopertura finita in modo tale che '' $(0,1)$ '' sia contenuto in questa sottocopertura.
Consideriamo ( per comodità ) la copertura aperta di '' $(0,1)$ '': $uuu_{n=1}^(+oo)(1/n,1)=(0,1)$.
Consideriamo un insieme finito di indici: $A={1,...,k}$. Sia '' $k=maxA$ ''. Allora: $uuu_{n=1}^k(1/n,1)=(1/k,1)$.
Ne segue che: '' $(0,1/k]$ '' non appartiene a '' $uuu_{n=1}^k(1/n,1)$ ''. Quindi abbiamo trovato una copertura aperta dalla quale non si può estrarre una sottocopertura finita che contenga '' $(0,1)$ ''. Quindi esso non è compatto.
2 - Sia '' $(X,d)=(0,1)$ '' spazio metrico euclideo. Cercare la stessa cosa di prima.
Esso è chiuso e aperto in se stesso ( siccome è anche chiuso potrebbe essere compatto, poiché le altre due condizioni sono verificate ). Può essere compatto? Se sì devo pensare ad una particolare copertura dalla quale estrarre una sottocopertura finita. Se no allora cambio esercizio provando a considerare '' $(X,d)=[0,1]$ ''.
Però in questo caso mi collego al problema iniziale del post, dove mi trovo con una copertura aperta equivalente a '' $[0,1]$ ''. Può essere considerata aperta in virtù del fatto che '' $[0,1]$ '' è aperto e chiuso in se stesso? Se sì il problema è risolto.
1-[...]Ne segue che: '' $(0,1/k]$ '' non appartiene a '' $uuu_{n=1}^k(1/n,1)$ ''. Quindi abbiamo trovato una copertura aperta dalla quale non si può estrarre una sottocopertura finita che contenga '' $(0,1)$ ''. Quindi esso non è compatto.
2 - Sia '' $(X,d)=(0,1)$ '' spazio metrico euclideo. Cercare la stessa cosa di prima.
Esso è chiuso e aperto in se stesso ( siccome è anche chiuso potrebbe essere compatto, poiché le altre due condizioni sono verificate ). Può essere compatto?
Sull'esercizio 1 sono perfettamente d'accordo. Sulla questione 2, ossia "può essere compatto (0,1), considerato 'da solo', non come sottoinsieme di R?" capisco il tuo dubbio, ma secondo me nelle ipotesi del teorema di Heine-Borel in R un sottonisieme di R è compatto sse è limitato e chiuso in R, non in sé. La dimostrazione altrimente non regge. Essere limitato e chiuso in sé non garantisce la compattezza. Quindi (0,1) non può essere compatto, vale comunque l'esercizio 1.
2 - Sia '' $(X,d)=(0,1)$ '' spazio metrico euclideo. Cercare la stessa cosa di prima.
Esso è chiuso e aperto in se stesso ( siccome è anche chiuso potrebbe essere compatto, poiché le altre due condizioni sono verificate ). Può essere compatto?
Sull'esercizio 1 sono perfettamente d'accordo. Sulla questione 2, ossia "può essere compatto (0,1), considerato 'da solo', non come sottoinsieme di R?" capisco il tuo dubbio, ma secondo me nelle ipotesi del teorema di Heine-Borel in R un sottonisieme di R è compatto sse è limitato e chiuso in R, non in sé. La dimostrazione altrimente non regge. Essere limitato e chiuso in sé non garantisce la compattezza. Quindi (0,1) non può essere compatto, vale comunque l'esercizio 1.
Ciao! Ti ringrazio.Effettivamente sul mio testo per il teorema di Heine - Borel usa l'inclusione stretta ( '' $EsubRR^n$ '' ), quindi vale per i sottoinsiemi propri ( anche se ovviamente potevo definire quell'insieme con qualsiasi metrica ).
Riprendendo il caso '' $(X,d)=(0,1)$ '' anche io penso che quest'insieme non possa esser compatto, anche perché seguendo lo stesso metodo del primo esercizio del post precedente non si riesce a rinchiuderlo in una sottocopertura finita.
Allora nel teorema di questo topic deve essere per forza del tipo '' $(X,d)=[0,1]$ ''. Dato che è così, per ogni sua copertura aperta è sempre possibile racchiudere tutti i suoi elementi ( attenzione al fatto che la copertura aperta utilizzata nel post precedente, qui non è più una sua copertura: non include '' $0$ '' ). L'ultimo dubbio che resta è il seguente: '' $(X,d)=[0,1]$ '' ha la costituzione di un chiuso, però la copertura aperta lo può soltanto eguagliare, quindi: $[0,1]=uuu_(iinI)f^(-1)A_i$.
In questo caso la relazione vale solamente per il fatto che '' $[0,1]$ '' è chiuso e aperto in se stesso e quindi anche la copertura assume la stessa proprietà, dal momento che lo eguaglia? Ovvero in questo caso può accadere che un '' chiuso '' sia uguale ad un '' aperto ''? Penso di sì, stando a quanto finora scritto.
L'ultimo dubbio che resta è il seguente: '' $(X,d)=[0,1]$ '' ha la costituzione di un chiuso, però la copertura aperta lo può soltanto eguagliare, quindi: $[0,1]=uuu_(iinI)f^(-1)A_i$.
In questo caso la relazione vale solamente per il fatto che '' $[0,1]$ '' è chiuso e aperto in se stesso e quindi anche la copertura assume la stessa proprietà, dal momento che lo eguaglia? Ovvero in questo caso può accadere che un '' chiuso '' sia uguale ad un '' aperto ''? Penso di sì, stando a quanto finora scritto.[/quote]
Un insieme può essere sia chiuso che aperto, l'insieme 'universale' e l'insieme vuoto sono sia chiusi che aperti, quindi non vedo problemi.
Per essere precisi, un ricoprimento è una collezione di insiemi $ E_i, iin I $ che ricopre un'altro insieme, non si può in questo caso parlare di 'aperto' per il ricoprimento, ma di aperto per $ uu E_i $, $ E_i $ aperti, dato che l'unione di aperti è un aperto.
In questo caso la relazione vale solamente per il fatto che '' $[0,1]$ '' è chiuso e aperto in se stesso e quindi anche la copertura assume la stessa proprietà, dal momento che lo eguaglia? Ovvero in questo caso può accadere che un '' chiuso '' sia uguale ad un '' aperto ''? Penso di sì, stando a quanto finora scritto.[/quote]
Un insieme può essere sia chiuso che aperto, l'insieme 'universale' e l'insieme vuoto sono sia chiusi che aperti, quindi non vedo problemi.
Per essere precisi, un ricoprimento è una collezione di insiemi $ E_i, iin I $ che ricopre un'altro insieme, non si può in questo caso parlare di 'aperto' per il ricoprimento, ma di aperto per $ uu E_i $, $ E_i $ aperti, dato che l'unione di aperti è un aperto.
non si può in questo caso parlare di 'aperto' per il ricoprimento, ma di aperto per $ uu E_i $,$ E_i $ aperti, dato che l'unione di aperti è un aperto.
Infatti '' $f^(-1)(A_i)$ '' è un aperto, e l'unione degli '' $A_i$ '' è aperto. Da questo si estrae la sottocopertura finita che contiene
'' $[0,1]$ '' . Alla fin fine '' $[0,1]$ '' e '' $uuu_{iinI}f^(-1)(A_i)$ '' sono lo stesso insieme, quindi hanno le stesse proprietà. Ricapitolando:
- Nel teorema ( dove '' $X_1$ '' è compatto per definizione ) non va bene un insieme come '' $(X,d)=(0,1)$ '' perché non può essere compatto.
- Invece '' $(X,d)=[0,1]$ '' va bene perché è compatto.
Ti ringrazio.
posting.php?mode=smilies&f=36&start=50#
Mi sembra che così le cose filano. Grazie per gli spunti di riflessione. Buoni teoremi Ferragosto!
Mi sembra che così le cose filano. Grazie per gli spunti di riflessione. Buoni teoremi Ferragosto!
Ti ringrazio.
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