Spazi metrici

[anto84gr-votailprof]

Siano (E,d) e (E',d') due spazi metrici e $f:E->E'$ continua
allora è vero che se A' è aperto di E' allora $f^(-1)(A')$ è aperto???

E' vero? Per favore ditemi di si!!!!Per me lo è!!!

[vict85]

"anto84gr":Siano (E,d) e (E',d') due spazi metrici e $f:E->E'$ continua
allora è vero che se A' è aperto di E' allora $f^(-1)(A')$ è aperto???

E' vero? Per favore ditemi di si!!!!Per me lo è!!!

Che definizione di continuità usi? Comunque si è vero... Anche perché uno spazio metrico è uno spazio topologico... In uno spazio topologico generico continua significa che la controimmagine di aperti è un aperto.

Ora considera un aperto [tex]A\subseteq E'[/tex]. Allora sia [tex]f(x)\in A[/tex]. Siccome [tex]A[/tex] è aperto esisterà una palla aperta di raggio [tex]\epsilon[/tex] e centro [tex]f(x)[/tex] completamente contenuta in [tex]A[/tex]. Per continuità esisterà una palla aperta di raggio [tex]\delta[/tex] e centro [tex]x[/tex] tale che [tex]f(y)\in B(f(x),\epsilon)[/tex] per ogni [tex]y\in B(x,\delta)[/tex]. Quindi [tex]B(x,\delta)\subseteq f^{-1}(A)[/tex]. Se ne deduce che quindi [tex]f^{-1}(A)[/tex] è aperto.

Si dimostra abbastanza facilmente anche l'implicazione inversa...

[anto84gr-votailprof]

Grazie mille!!!!!