Spazi \(L^p\)

[miciomatta]

Salve, confrontando gli appunti del corso con altri appunti trovati in rete non riesco a capire bene la definizione di spazio \(L^p\), o meglio data una funzione f non so come affermare o meno la sua appartenenza ad uno spazio del tipo \(L^p\)

la definizione che io ho è

per ogni p\(\in [1,+\infty] L^p(X)= \{ [f] t.che \ \ ||f||_p < \infty \} \)
dove \(L^p\) è uno spazio vettoriale normato con norma:
\( ||f||_p = se\ p<\infty \to (\int_X |f|^p)^{1/p} ;
se\ p= \infty \to supess_X |f| \) dove supess(f)=inf{t : f(x) quindi se mi danno una funzione f e mi chiedono se appartiene o meno allo spazio \(L^p\) (io ho capito) che devo vedere se vale \(||f||_p < \infty \ \) cioè se (nel caso p < \( \infty \ \ \ (\int_X |f|^p)^{1/p}< \infty \)

in altri testi però mi dicono che basta calcolare \( \int |f|^p \) e verificare che sia finito..so che sarà una cavolata ma le due cose si equivalgono?

[Lemniscata1]

"miciomatta":
in altri testi però mi dicono che basta calcolare \( \int |f|^p \) e verificare che sia finito..so che sarà una cavolata ma le due cose si equivalgono?

Beh, credo di sì, perché quell'integrale è la potenza $p$-esima della norma, quindi se la norma è un numero reale (maggiore o uguale a zero dalla definizione) anche la sua potenza $p$-esima lo sarà, e viceversa se quell'integrale è un numero reale (ancora ovviamente non negativo) allora è un numero reale non negativo anche la sua potenza $1/p$-esima, cioè la norma.

[miciomatta]

quindi (e io sono di questo parere) secondo te basta verificare che \( \int_X |f|^p \) sia finito per poter affermare che f appartiene allo spazio \( L^p \)

[Lemniscata1]

Sì. Per quanto riguarda l'appartenenza, la potenza $1/p$-esima è assolutamente ininfluente. E' invece indispensabile nella definizione della (semi)norma, perché altrimenti perdi l'assoluta omogeneità rispetto alla moltiplicazione per gli scalari.
Chi ne sa molto più di me intervenga se ho detto sciocchezze, grazie.

[miciomatta]

ti ringrazio!!!!

[gugo82]

@miciomatta: Come già detto, credo sia indispensabile che tu scelga un libro da cui studiare: evidentemente gli appuntini presi dai tuoi colleghi non bastano.
Per quel che mi riguarda, circa gli spazi \(L^p\) posso consigliarti i seguenti testi (in ordine sparso): Rudin, Real and Complex Analysis; Folland, Real Analysis; Royden, Real Analysis; Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs...

Se poi proprio ti serve qualcosa in italiano, puoi provare con le dispense di R. Fiorenza segnalate qui (ma i risultati sugli spazi di Lebesgue sono sparsi un po' in tutto il testo, a mo' di esempi).

[miciomatta]

Io ti ringrazio del consiglio ma purtroppo non ho la possibilità di prendere libri fino alla prossima settimana. Ho posto questa domanda perchè ho letto più cose anche su internet e volevo una conferma.