Spazi L^2 e la funzione costante 1
Ho un'altra domanda, che mi solleva alcuni dubbi riguardo la mia reale comprensione sugli spazi $L^2$
Il libro mi dice:
una funzione $f(x)inL^2(a,b)$ se esiste ed è finito l'integrale
$I_(2)=int_(a)^(b) |f(x)|^2dx $ (funzione peso $p(x)=1$)
La funzione $f(x)=1$ fa parte di questo spazio, perché quell'integrale esiste. Giusto?
Nel capitolo delle trasformate di Fourier mi dice poi che la funzione $1$ palesemente non appartiene a $L^2$ ne ad $L$. Questo perché in quel caso gli estremi di integrazione sono + o - infinito? E' così o non ci ho capito nulla? Perché solo in quel caso 1 non apparterebbe. E poi è corretto dire $f(x)=1$ non appartiene e basta? Non si dovrebbe specificare sempre su quale intervallo? Grazie a chi mi chiarirà questi dubbi
Il libro mi dice:
una funzione $f(x)inL^2(a,b)$ se esiste ed è finito l'integrale
$I_(2)=int_(a)^(b) |f(x)|^2dx $ (funzione peso $p(x)=1$)
La funzione $f(x)=1$ fa parte di questo spazio, perché quell'integrale esiste. Giusto?
Nel capitolo delle trasformate di Fourier mi dice poi che la funzione $1$ palesemente non appartiene a $L^2$ ne ad $L$. Questo perché in quel caso gli estremi di integrazione sono + o - infinito? E' così o non ci ho capito nulla? Perché solo in quel caso 1 non apparterebbe. E poi è corretto dire $f(x)=1$ non appartiene e basta? Non si dovrebbe specificare sempre su quale intervallo? Grazie a chi mi chiarirà questi dubbi
Risposte
di solito quando non si specifica l'insieme si intende tutto l'asse reale (o tutto $RR^n$ in più dimensioni) e in quel caso le costanti non sono integrabili
Non sono un esperto della materia, ma provo a risponderti.
Sì, hai ragione, serve sempre specificare a quale intervallo (o insieme) ci si riferisce. In realtà si dovrebbe specificare anche rispetto a quale misura e a quale \(\sigma\)-algebra. Se siamo su uno spazio misurabile \((X,\mathscr{M},\mu)\) anziché scrivere \(L^p(X,\mathscr{M},\mu)\) scriviamo semplicemente \(L^p\). Se è chiaro rispetto a quale \(\sigma\)-algebra e misura si sta integrando scriveremo solo \(L^p(X)\) o più brevemente \(L^p\). Se invece integriamo su \(A \subset X\) specificheremo sempre l'insieme: \(L^p(A)\).
Nel caso di funzioni reali si sottointende lo spazio misurabile \((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)\), dove \(m\) è la misura di Lebesgue, e si scrive solo \(L^p(\mathbb{R})\) o direttamente \(L^p\). Nel caso invece integriamo su un intervallo \((a,b) \subset \mathbb{R}\) specifichiamo \(L^p(a,b)\).
La funzione \(f(x) = 1\) appartiene chiaramente ad \(L^p(a,b)\), infatti:
\[\int_a^b |1|^p dx = \int_a^b dx = m(a,b) = b-a < \infty \ \ \ \ \forall p \in [0,\infty)\]
Mentre invece non appartiene ad \(L^p\) in generale, ovvero \(L^p(\mathbb{R})\), poiché l'integrale diverge. Infatti: \[\int_\mathbb{R} dx = \left( \int_{-\infty}^{\infty} dx \right) = m(\mathbb{R}) = \infty \ \ \ \ \forall p \in [0,\infty)\]
AGGIUNGO:
Attenzione all'utilizzo del termine "esistenza". Cosa vuol dire? E' un concetto sottile che richiede una certa precisione. In ogni caso non solo deve "esistere" ma deve convergere, ovvero essere finito!
Sì, hai ragione, serve sempre specificare a quale intervallo (o insieme) ci si riferisce. In realtà si dovrebbe specificare anche rispetto a quale misura e a quale \(\sigma\)-algebra. Se siamo su uno spazio misurabile \((X,\mathscr{M},\mu)\) anziché scrivere \(L^p(X,\mathscr{M},\mu)\) scriviamo semplicemente \(L^p\). Se è chiaro rispetto a quale \(\sigma\)-algebra e misura si sta integrando scriveremo solo \(L^p(X)\) o più brevemente \(L^p\). Se invece integriamo su \(A \subset X\) specificheremo sempre l'insieme: \(L^p(A)\).
Nel caso di funzioni reali si sottointende lo spazio misurabile \((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)\), dove \(m\) è la misura di Lebesgue, e si scrive solo \(L^p(\mathbb{R})\) o direttamente \(L^p\). Nel caso invece integriamo su un intervallo \((a,b) \subset \mathbb{R}\) specifichiamo \(L^p(a,b)\).
La funzione \(f(x) = 1\) appartiene chiaramente ad \(L^p(a,b)\), infatti:
\[\int_a^b |1|^p dx = \int_a^b dx = m(a,b) = b-a < \infty \ \ \ \ \forall p \in [0,\infty)\]
Mentre invece non appartiene ad \(L^p\) in generale, ovvero \(L^p(\mathbb{R})\), poiché l'integrale diverge. Infatti: \[\int_\mathbb{R} dx = \left( \int_{-\infty}^{\infty} dx \right) = m(\mathbb{R}) = \infty \ \ \ \ \forall p \in [0,\infty)\]
AGGIUNGO:
"Spremiagrumi":
La funzione $f(x)=1$ fa parte di questo spazio, perché quell'integrale esiste. Giusto?
Attenzione all'utilizzo del termine "esistenza". Cosa vuol dire? E' un concetto sottile che richiede una certa precisione. In ogni caso non solo deve "esistere" ma deve convergere, ovvero essere finito!
"Emar":
Attenzione all'utilizzo del termine "esistenza". Cosa vuol dire? E' un concetto sottile che richiede una certa precisione. In ogni caso non solo deve "esistere" ma deve convergere, ovvero essere finito!
Non studio matematica, studio fisica, ogni tanto uso termini a sproposito, comunque mi sembra tutto chiaro. Grazue
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