Spazi D(R) e S(R).
Buon pomeriggio a tutti , qualcuno potrebbe darmi delle spiegazioni e magari fornire degli esempi riguardo a questi 2 spazi?
In particolar modo , una f(x) appartiene a D(R) qualora essa sia derivabile infinite volte e a supporto compatto in R( quindi f(x) diversa da zero ovunque nel suo insieme di definizione?
E allora come mai e^(-x^2) non vi appartiene?!!
Poi le funzioni appartenenti a S(R) non differiscono da quelle di D(R) dal solo fatto che vanno a 0 al divergere di x insieme alle loro derivate n-esime?!!
La funzione che ho preso come esempio prima appartiene a questo spazio.
poi un altra cosa che stento a capire l'inclusione di D(R) in S(R) e le rispettive inclusioni in L^2(R).
Spero possiate chiarirmi le idee un pò confuse.
Grazie
In particolar modo , una f(x) appartiene a D(R) qualora essa sia derivabile infinite volte e a supporto compatto in R( quindi f(x) diversa da zero ovunque nel suo insieme di definizione?
E allora come mai e^(-x^2) non vi appartiene?!!
Poi le funzioni appartenenti a S(R) non differiscono da quelle di D(R) dal solo fatto che vanno a 0 al divergere di x insieme alle loro derivate n-esime?!!
La funzione che ho preso come esempio prima appartiene a questo spazio.
poi un altra cosa che stento a capire l'inclusione di D(R) in S(R) e le rispettive inclusioni in L^2(R).
Spero possiate chiarirmi le idee un pò confuse.
Grazie
Risposte
Prima di andare avanti in questi argomenti è bene che ti rivedi la definizione di supporto di una funzione, perché da lì ti vengono problemi: il supporto di una funzione è 'la chiusura dell'insieme su cui la funzione è diversa da zero', quindi una funzione a supporto compatto si annulla al di fuori di un compatto. Da qui dovresti capire, ad esempio, perché $e^(-x^2)$ non appartiene a $D(R)$...
Ma , questa funzione si annulla solo per x che diverge positivamente.
Non ho capito però tutto il resto.
Grazie comunque
Non ho capito però tutto il resto.
Grazie comunque
Ti sarei grata , gabriella se potresti farmi una breve spiegazione , magari fornendomi degli esempi di funzioni che appartengono ad uno ma non all'altro o ad entrambi , perche ad esempio nel thread sugli spazi di hilbert sei stata veramente chiarissima
@ daniele90013: Chiedo per curiosità, dato che sembra ti manchino proprio i concetti base (sia di Analisi Funzionale spicciola, che di Teoria delle Distribuzioni): da che libro studi? Hai seguito il corso (che direi, "ad occhio", è qualcosa tipo Metodi Matematici per la Fisica/Ingegneria)?
si metodi matematici per l'ingeneria.
Non penso mi manchino proprio del tutto i concetti , sto cercando fare ordine mentale , forse un pò troppa confusione.
Non penso mi manchino proprio del tutto i concetti , sto cercando fare ordine mentale , forse un pò troppa confusione.
Ecco, appunto... Ed il testo che stai seguendo?
Ma per verificare se una funzione appartiene allo spazio D(R), come prima cosa il suo dominio deve essere costituito da un insieme chiuso e limitato ?
E poi , devo verificare che essa insieme alle sue derivate risulti continua in ogni punto di tale intervallo , compresso gli estremi?!!
Dico bene o sbaglio qualcosa?
Inoltre procedendo con il mio studio sono arrivato a vedere che l'oggetto \(\displaystyle \delta \left ( x \right ) \) non è una funzione ma è un funzionale.
Ho definito il funzionale come una mappa definita sullo spazio di Hilbert o su un suo sottospazio e quindi di conseguenza sugli spazi D(R) e S(R).
Ho visto che funzionali continui definiti su questi due spazi si dicono rispettivamente distribuzioni e distribuzioni temperate.
Adesso ciò che non riesco a capire è l'inclusione che c'è tra lo spazio delle distribuzioni temperate e quello delle distribuzioni.
O meglio come mai una distribuzione temperata è una distribuzione , ma il viceversa non è sempre garantito.
E poi , devo verificare che essa insieme alle sue derivate risulti continua in ogni punto di tale intervallo , compresso gli estremi?!!
Dico bene o sbaglio qualcosa?
Inoltre procedendo con il mio studio sono arrivato a vedere che l'oggetto \(\displaystyle \delta \left ( x \right ) \) non è una funzione ma è un funzionale.
Ho definito il funzionale come una mappa definita sullo spazio di Hilbert o su un suo sottospazio e quindi di conseguenza sugli spazi D(R) e S(R).
Ho visto che funzionali continui definiti su questi due spazi si dicono rispettivamente distribuzioni e distribuzioni temperate.
Adesso ciò che non riesco a capire è l'inclusione che c'è tra lo spazio delle distribuzioni temperate e quello delle distribuzioni.
O meglio come mai una distribuzione temperata è una distribuzione , ma il viceversa non è sempre garantito.
Dico bene ? e' sufficiente che non si annulli solo la funzione sul compatto oppure non si devono annullare nemmeno le derivate n-esime?
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