Spazi di successioni
Ciao a tutti, ho un interessante problemino.
Consideriamo lo spazio delle successioni $l_oo$ (spazio delle successioni limitate)
Data una successione $x_i^n$, la norma di tale successione in questo spazio è definita come sup(i)$|x_i|$
La domanda è:
secondo voi, esiste una successione $x_i^n$ che converge puntualmente a zero (ossia converge componente per componente), ma non converge in norma, ossia
$\lim_{n \to \infty}||x_n||!=0$
Mi sembra abbastanza ovvio che se una successione converge in norma, allora significa che il sup delle sue componenti è zero, ossia ogni sua componente è zero, quindi converge puntualmente a zero.
Ma mi sembra abbastanza ragionevole anche il viceversa, infatti se una successione converge puntualmente a zero, per n grande ogni sua componente sarà nulla, quindi il sup delle sue componenti è 0!
Sbaglio qualcosa?
Grazie
Fabio
Consideriamo lo spazio delle successioni $l_oo$ (spazio delle successioni limitate)
Data una successione $x_i^n$, la norma di tale successione in questo spazio è definita come sup(i)$|x_i|$
La domanda è:
secondo voi, esiste una successione $x_i^n$ che converge puntualmente a zero (ossia converge componente per componente), ma non converge in norma, ossia
$\lim_{n \to \infty}||x_n||!=0$
Mi sembra abbastanza ovvio che se una successione converge in norma, allora significa che il sup delle sue componenti è zero, ossia ogni sua componente è zero, quindi converge puntualmente a zero.
Ma mi sembra abbastanza ragionevole anche il viceversa, infatti se una successione converge puntualmente a zero, per n grande ogni sua componente sarà nulla, quindi il sup delle sue componenti è 0!
Sbaglio qualcosa?
Grazie
Fabio
Risposte
"SaturnV":
Ciao a tutti, ho un interessante problemino.
Consideriamo lo spazio delle successioni $l_oo$ (spazio delle successioni limitate)
Data una successione $x_i^n$, la norma di tale successione in questo spazio è definita come sup(i)$|x_i|$
La domanda è:
secondo voi, esiste una successione $x_i^n$ che converge puntualmente a zero (ossia converge componente per componente), ma non converge in norma, ossia
$\lim_{n \to \infty}||x_n||!=0$
Mi sembra abbastanza ovvio che se una successione converge in norma, allora significa che il sup delle sue componenti è zero, ossia ogni sua componente è zero, quindi converge puntualmente a zero.
Ma mi sembra abbastanza ragionevole anche il viceversa, infatti se una successione converge puntualmente a zero, per n grande ogni sua componente sarà nulla, quindi il sup delle sue componenti è 0!
Sbaglio qualcosa?
Grazie
Fabio
Prendi $x_i^n=1$ se $j=n$, $x_i^n=0$ se $j\ne n$. Vedi subilto che per $j$ fissato $\lim_{n\to\infty}x_j^n=0$ ma $||x^n||=1$ per ogni $n$
Urca.
Hai davvero ragione.
Grazie
Fabio
Hai davvero ragione.
Grazie
Fabio
No, aspetta.
Però la successione che mi hai proposto non converge puntualmente a zero, in quanto anche per n che tende all'infinito ci sarà sempre una componente che è uguale a 1!
Sbaglio?
Fabio
Però la successione che mi hai proposto non converge puntualmente a zero, in quanto anche per n che tende all'infinito ci sarà sempre una componente che è uguale a 1!
Sbaglio?
Fabio
"SaturnV":
No, aspetta.
Però la successione che mi hai proposto non converge puntualmente a zero, in quanto anche per n che tende all'infinito ci sarà sempre una componente che è uguale a 1!
Sbaglio?
Fabio
Sbagli
(anche se e' vero che c'e' sempre qualche componente lonatna da zero --che poi e' il motivo della non convergenza uniforme)Qual e' la definizione di convergenza puntuale (a zero)? Fissata una componente $j$ deve succedere che $x_j^n\to0$ per $n\to\infty$ - ogni componente e' trattata per conto suo.
Quindi se consideri la prima componente non te ne frega nulla di cio' che fanno le altre.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo