Spazi di Sobolev
Ciao. Sto seguendo il corso di Analisi Matematica e ho un problema con le inclusioni tra spazi di Sobolev.
Ho enunciato, senza dimostrare, il teorema di immersione di Sobolev e il teorema di Rellich-Kondrachov però non mi sono chiare delle cose che il professore da per scontato. Forse sono cose banali e la banalità non mi salta all'occhio
1. \(\displaystyle u \in C^2(\bar{\Omega}) \Rightarrow u \in W^{2,2} \)
2. \(\displaystyle u \in W^{2,2} \Rightarrow u \in W_0^{1,2} \)
Ps. Sto studiando le soluzioni deboli di problemi ellittici, quindi se avete degli appunti scritti in modo chiaro ve ne sarei grata. (sto usando l'Evans e gli appunti del prof)
Ho enunciato, senza dimostrare, il teorema di immersione di Sobolev e il teorema di Rellich-Kondrachov però non mi sono chiare delle cose che il professore da per scontato. Forse sono cose banali e la banalità non mi salta all'occhio
1. \(\displaystyle u \in C^2(\bar{\Omega}) \Rightarrow u \in W^{2,2} \)
2. \(\displaystyle u \in W^{2,2} \Rightarrow u \in W_0^{1,2} \)
Ps. Sto studiando le soluzioni deboli di problemi ellittici, quindi se avete degli appunti scritti in modo chiaro ve ne sarei grata. (sto usando l'Evans e gli appunti del prof)
Risposte
La prima è vera se il dominio è limitato, perché allora una funzione continua è in tutti gli spazi $L^p$ e in particolare in $L^2$. In particolare sono in $L^2$ la funzione $u$ e le sue derivate prime e seconde.
La seconda è falsa, non puoi garantire che la funzione sia nulla sul bordo. La funzione costante $1$ è un controesempio.
La seconda è falsa, non puoi garantire che la funzione sia nulla sul bordo. La funzione costante $1$ è un controesempio.
Chiarissimo.
Per quanto riguarda gli appunti sai consigliarmi qualcosa?
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