Spazi di Sobolev.

[menale1]

Salve a tutti.
Nel corso della preparazione della tesi e delle studio degli spazi di Sobolev, ho introdotto lo spazio di Sobolev (ed Hilbertiano) $ W_{0}^{1,p}(Omega ) $ con $ Omega $ aperto di $ RR^N $ , stando alla notazione del "Brezis".
Ad un certo punto vien detta la seguente cosa:
Se $ RR^N\\ Omega $ è "sufficientemente piccolo" e $p In questa osservazione non vien detto nulla in merito a questo "sufficientemente piccolo", lasciandolo un po' sospeso tra le righe. Io ho pensato che si intendesse che $ RR^N\\ Omega $ come insieme di misura nulla.
Che ne dite?
In attesa di vostre risposte, vi ringrazio anticipatamente per la collaborazione.

[Rigel1]

A occhio direi che l'uguaglianza vale se \(\mathbb{R}^n\setminus\Omega\) è un insieme di \(p\)-capacità nulla.
Si tratta di questioni fini di teoria del potenziale; se vuoi puoi dare un'occhiata al libro di Maly e Ziemer, "Fine regularity..." (che però è piuttosto impegnativo).

[menale1]

"Rigel":Rn∖Ω è un insieme di p-capacità nulla.

Capacità di un insieme? Cosa si intende?

"Rigel":se vuoi puoi dare un'occhiata al libro di Maly e Ziemer, "Fine regularity..." (che però è piuttosto impegnativo).

Impegnativo quanto?

[Rigel1]

La nozione di \(p\)-capacità è una generalizzazione del concetto di capacità elettrostatica; puoi trovare le definizioni precise nel libro che ti ho indicato o in un qualsiasi libro di Potential Theory.
Per affrontare tali libri devi avere almeno le conoscenze di base sugli spazi di Sobolev.

[menale1]

"Rigel":qualsiasi libro di Potential Theory

Potresti consigliarmi un qualche altro titolo così domani avvio una ricerca in Biblioteca?

"Rigel":le conoscenze di base sugli spazi di Sobolev

Ho cominciato ad affrontarli. Cosa intendi per "di base"?

[Rigel1]

Puoi dare un'occhiata a questo articolo
http://folk.uib.no/ima083/courses_files/potential.pdf
e ai riferimenti bibliografici contenuti.

Trovi qualcosa anche nel libro di Ziemer, "Weakly differentiable functions".

Se hai appena cominciato a studiare gli spazi di Sobolev, ti consiglio comunque di aspettare un po' prima di affrontare in dettaglio questi argomenti (però puoi cominciare a leggere il primo articolo che ho riportato che contiene anche collegamenti con la fisica).

[menale1]

Grazie mille per il suggerimento.

"Rigel":Se hai appena cominciato a studiare gli spazi di Sobolev, ti consiglio comunque di aspettare un po' prima di affrontare in dettaglio questi argomenti

In effetti ho cominciato da poco nell'ambito dello sviluppo della tesi, ma l'argomento ho risvolti molto interessanti.
Mi confermi che storicamente questi spazi sono stati introdotti via serie di Fourier?
Io ne ho analizzato sia l'approccia via spazi L^p, vuoi l'approccio distribuzionale riguardante la teoria sviluppata da L. Schwartz.

[Rigel1]

Se non ricordo male l'approccio originale di Sobolev è basato sull'uso delle derivate deboli.

[menale1]

"Rigel":Se non ricordo male l'approccio originale di Sobolev è basato sull'uso delle derivate deboli.

Non distribuzionale come approccio?
Perché stando ai lavori Sobolev e Schwartz operarono quasi in contemporanea.

[Rigel1]

I primi lavori di Sobolev risalgono a metà degli anni 30; per le distribuzioni occorre aspettare un'altra quindicina di anni.

[menale1]

"Rigel":I primi lavori di Sobolev risalgono a metà degli anni 30; per le distribuzioni occorre aspettare un'altra quindicina di anni.

Ok, in questo modo ritorna l'approccio distribuzionale agli spazi di Sobolev come una sorta di "falso storico" dal valore puramente didattico.

"Rigel": Maly e Ziemer, "Fine regularity..." (che però è piuttosto impegnativo).

Ho provato a dare un'occhiata a questo testo e, confesso, non l'ho trovato semplice, addirittura ci sono delle questioni che riguardano il calcolo delle variazioni. Ad esempio ho scoperto che la questione della $ p $ -capacità si formula in termini di problema di minimo.
Probabilmente necessito ancora di qualche strumento prima di poter assaporare appieno il gusto di questa portata.