Spazi di Lebesgue e prodotto scalare

[Kroldar]

Mi chiedo come mai $L^1$ non sia uno spazio di Hilbert... esso è uno spazio di Banach dunque è completo rispetto alla metrica indotta dalla norma... non è possibile associare dunque alla norma un prodotto scalare? In $L^2$ la cosa funziona benissimo d'altronde... chissà!

[CiUkInO1]

Già l'unico spazio di lebegue che ha il prodotto scalare è $L^2$.
Suppongo sia perchè (dalla disugualianza di holder) se $f \in L^p $ e $g \in L^q $ $ \int f(x) g(x) dx $ è finito solo se $p^-1 + q^-1=1$ che nel caso di $L^2$ è soddisfatto negli altri no

[_luca.barletta]

Che io sappia se $f in L^1, g in L^1$ non è detto che $f*g in L^1$, sbaglio?

[_luca.barletta]

Ora ho letto la risposta di Ciukino: sì è per quel motivo

[Kroldar]

"CiUkInO":
Suppongo sia perchè (dalla disugualianza di holder) se $f \in L^p $ e $g \in L^q $ $ \int f(x) g(x) dx $ è finito solo se $p^-1 + q^-1=1$ che nel caso di $L^2$ è soddisfatto negli altri no

La disuguaglianza di Holder, almeno come la conosco io, è l'implicazione inversa, ovvero: siano $p in [1,+oo]$ e
$q in [1,+oo]$ tali che $1/p+1/q=1$, consideriamo gli spazi di Lebesgue $L^p$ e $L^q$; in tali ipotesi se $x in L^p$ e
$y in L^q$ allora $xy in L^1$ e risulta $||xy||_1 <= ||x||_p||y||_q$
Non so se valga la condizione invertita come l'hai enunciata tu.
Cmq ho trovato in giro una condizione necessaria e sufficiente che recita così:
Sia $V$ uno spazio normato, allora esiste un prodotto scalare che induce la norma se e soltanto se, per ogni $x,y in V$, vale la cosiddetta regola del parallelogrammo $||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2$
Si dimostra che l'unico spazio di Lebesgue per cui vale tale criterio è $L^2$

[CiUkInO1]

La disuguaglianza di Holder, almeno come la conosco io, è l'implicazione inversa, ovvero: siano $p in [1,+oo]$ e
$q in [1,+oo]$ tali che $1/p+1/q=1$, consideriamo gli spazi di Lebesgue $L^p$ e $L^q$; in tali ipotesi se $x in L^p$ e
$y in L^q$ allora $xy in L^1$ e risulta $||xy||_1 <= ||x||_p||y||_q$
Non so se valga la condizione invertita come l'hai enunciata tu.
Cmq ho trovato in giro una condizione necessaria e sufficiente che recita così:
Sia $V$ uno spazio normato, allora esiste un prodotto scalare che induce la norma se e soltanto se, per ogni $x,y in V$, vale la cosiddetta regola del parallelogrammo $||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2$
Si dimostra che l'unico spazio di Lebesgue per cui vale tale criterio è $L^2$

Beh da quello che so io è un se e solo se....quindi vale anche l'inversa...(prima ho messo solo il se sbagliando)
La condizione che hai messo tu sinceramente non la conosco.