Spazi di Hilbert, separabilità e dimensione

[Kroldar]

Sappiamo che uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se possiede un sistema ortonormale completo al più infinito numerabile.

C'è un nesso tra la cardinalità di un siffatto sistema ortonormale completo e la dimensione dello spazio? Ad esempio, se lo spazio ha dimensione infinita, il sistema ortonormale in questione sarà necessariamente infinito? Se viceversa lo spazio ha dimensione finita, il sistema sarà formato da un numero finito di elementi (pari eventualmente alla dimensione dello spazio)?

[dissonance]

"Kroldar":se lo spazio ha dimensione infinita, il sistema ortonormale in questione sarà necessariamente infinito?

Si, perché un sistema ortonormale è necessariamente linearmente indipendente. [edit] Spendo due parole in più su questo punto. Intanto, in tutti gli spazi vettoriali una base (algebrica) può essere caratterizzata come un sistema linearmente indipendente massimale (vedi, se necessario, Cailotto definizione 4.1, pag.60).
Detto questo, sia $H$ uno spazio di Hilbert di dimensione infinita e supponiamo per assurdo che esso ammetta un sistema ortonormale completo finito che chiamiamo $E={e_1,...,e_n}$. Affermiamo che $E$ è anche una base algebrica, in contraddizione con le ipotesi.

Infatti $E$ è un insieme linearmente indipendente: se fosse $lambda_1e_1+...+lambda_n e_n=0$, sarebbe anche $lambda_1e_1+...+lambda_n e_n=0e_1+...+0e_n$ quindi, per l'unicità della decomposizione, $lambda_1=0, ..., lambda_n=0$.

Inoltre $E$ è massimale. Supponiamo per assurdo di aggiungere ad $E$ il vettore $x$ in modo tale che l'insieme ${e_1, ..., e_n, x}$ sia linearmente indipendente. Definiamo poi $y=x-sum_{i=1}^n\langlex, e_i\rangle e_i$ e $\bar{y}=\frac{y}{||y||}$. (*)
E' facile verificare che il sistema ${e_1, ..., e_n, \bar{y}}$ è ortonormale, il che contraddice la massimalità di $E$.

In conclusione $E$ è una base algebrica. Ma per ipotesi $H$ ha dimensione infinita. La contraddizione nasce dall'aver supposto $E$ finito.

"Kroldar":Se viceversa lo spazio ha dimensione finita, il sistema sarà formato da un numero finito di elementi (pari eventualmente alla dimensione dello spazio)?

Si, ed è il "vecchio" concetto di base ortonormale. Puoi dimostrarlo usando l'algoritmo di Gram-Schmidt, ad esempio. Al punto segnato con (*) non ho fatto altro che applicare un passo di questo algoritmo.