Spazi di Hilbert e ortonormalità

[Spook]

In un teorema sugli spazi di hillbert ho trovato la frase "visto che la chiusura del sottospazio (fatto da vettori che appartengono a un sistema ortonormale) è un sottospazio chiuso...", dove per chiuso penso si intenda che contiene i suoi punti di accumulazione o, che è lo stesso mi sembra, la sua frontiera. Qualcuno ha qualche idea in merito, cioè sul perchè questo sottospazio è chiuso??? Io l'unica cosa che so è che nella chiusura ci sono tutte le combinazioni lineari.

[gugo82]

Occhio... Non dice che il sottospazio è chiuso, ma che la sua chiusura è chiusa.

Insomma, non è [tex]$\text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}$[/tex] ad esser chiuso, ma [tex]$\overline{\text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}}$[/tex] il quale, essendo una chiusura (ossia il più piccolo chiuso contenente etc...) è chiuso per definizione.

Il problema quindi non è tanto la proprietà di chiusura quanto è, casomai, dimostrare che [tex]$\overline{\text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}}$[/tex] è un sottospazio (ma ciò piò essere fatto facilmente, usando le proprietà di sottospazio di [tex]$\text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}$[/tex] ed il fatto che ogni [tex]$x\in \overline{\text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}}$[/tex] è limite di almeno una successione [tex]$(x_n)\subset \text{span} \{ u_\alpha\}_{\alpha \in A}$[/tex]).