Spazi di Hilbert
Buonasera a tutti.
Sono alle prese con gli spazi di Hilbert. Il mio problema è questo: considerando $U$ una trasformazione unitaria (cioè che conserva il prodotto scalare) di uno spazio di Hilbert $H$ in sé e con $ M sube H $, devo dimostrare che $U(M^\bot) = (U(M))^\bot$; con $M^\bot$ intendo il complemento ortogonale di $M$. Ma non ho idea di dove partire nella dimostrazione.
Forse devo fare vedere la doppia inclusione...
Ringrazio in anticipo chi mi sapesse dare un consiglio.
Sono alle prese con gli spazi di Hilbert. Il mio problema è questo: considerando $U$ una trasformazione unitaria (cioè che conserva il prodotto scalare) di uno spazio di Hilbert $H$ in sé e con $ M sube H $, devo dimostrare che $U(M^\bot) = (U(M))^\bot$; con $M^\bot$ intendo il complemento ortogonale di $M$. Ma non ho idea di dove partire nella dimostrazione.
Forse devo fare vedere la doppia inclusione...
Ringrazio in anticipo chi mi sapesse dare un consiglio.
Risposte
Scrivi bene le formule, ché non si capisce niente. Comunque, sì, devi mostrare la doppia inclusione.
Eh scusami hai ragione...solo ke non trovavo il modo di fare il simbolo di ortogonalità come apice...e ho provato a copiare la sintassi da quella di un altro intervento nel forum ma non è venuta.
Basta mettere le formule tra i simboli del dollaro.
Corretto il MathML (ed eliminati quegli inutili puntini sospensivi; vi prego, non usateli a sproposito).
Per il ragionamento, devi ovviamente far vedere che [tex]$U(M^\bot)\subseteq (U(M))^\bot \subseteq U(M^\bot)$[/tex]; ad occhio direi che basta giocare un po' con le proprietà di [tex]$U$[/tex].
Per il ragionamento, devi ovviamente far vedere che [tex]$U(M^\bot)\subseteq (U(M))^\bot \subseteq U(M^\bot)$[/tex]; ad occhio direi che basta giocare un po' con le proprietà di [tex]$U$[/tex].
Buonasera!!! Allora io ho provato a buttar giù una dimostrazione, però sfruttando le proprietà degli spazi vettoriali, non so se si può adattare anche agli operatori perchè non ci so ancora molto manovrare. Aspetto delucidazioni in merito se possibile. Vi ringrazio anticipatamente per la pazienza.
Indico con $ V(X) $ lo spazio vettoriale generato da X, allora per dimostrare che $ (V(X))^(bot) $ = $ X^(bot) $ verifico la doppia inclusione.
Infatti, essendo $ X sube V $ , si ha $ X^(bot) supe (V(X))^(bot) $ . D'altra parte, se $ v in V(X) $ , esistono $ x_1 $ , ... , $ x_N in X $ e $ lambda_1, ..., lambda_N in K $ tali che x = $ sum_(j = 1)^(N)lambda_jx_j $ . Di conseguenza, per ogni $ u in X^(bot) $ , risulta
$ $ = $ sum_(j = 1)^(N) lambda_j = 0 $ in quanto $ = 0 $ per ogni j. Questo prova che vale anche l'inclusione $ X^(bot) sube (V(X))^(bot) $ .
Indico con $ V(X) $ lo spazio vettoriale generato da X, allora per dimostrare che $ (V(X))^(bot) $ = $ X^(bot) $ verifico la doppia inclusione.
Infatti, essendo $ X sube V $ , si ha $ X^(bot) supe (V(X))^(bot) $ . D'altra parte, se $ v in V(X) $ , esistono $ x_1 $ , ... , $ x_N in X $ e $ lambda_1, ..., lambda_N in K $ tali che x = $ sum_(j = 1)^(N)lambda_jx_j $ . Di conseguenza, per ogni $ u in X^(bot) $ , risulta
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