Spazi di Hilbert

[amel3]

Vengo alla questione che mi aveva fatto aprire un thread precedente.
Nei libri si trova sempre la seguente decomposizione:

1. Se $H$ è uno spazio di Hilbert, e $K$ è un suo sottospazio chiuso, allora $H=K \oplus K^{_|_}$

oppure

2. Se $H$ è uno spazio di Hilbert, e $K$ è un suo sottospazio, allora $H=\bar K \oplus K^{_|_}$

Però mi pare di aver capito che vale anche questo asserto:

3. Se $H$ è uno spazio di Hilbert, e $K$ è un suo sottospazio (*), allora $ K \oplus K^{_|_}$ è denso in $H$.
(*) non denso in $H$?

Sono equivalenti 2 e 3? Se sì perchè?
Scusate se la domanda è banale.
Ciao e grazie.

[dissonance]

Direi che $Ko+K^\bot$ è denso in $H$ perché $\bar{K+K^bot}=\bar{K}+\bar{K^bot}=\bar{K}+K^bot$.
Questo penso si possa ricavare in maniera elementare perché la somma diretta $\bar{K}o+K^bot$ è sempre topologica, in quanto i proiettori $P_K, P_bot$ sono continui - il che segue subito dall'identità $||x||^2=||P_K(x)||^2+||P_bot(x)||^2$. Allora il sottospazio $\bar{K}+K^bot$ è chiuso perché se $(z_n)$ è una successione convergente in $\bar{K}+K^bot$, è anche $z_n=P_K(z_n)+P_bot(z_n)$, e il secondo membro di questa identità converge ad un elemento di $\bar{K}o+K^bot$. Concludiamo che $H=\bar{K+K^bot}\sub\bar{K}+K^bot\ =>\ \bar{K+K^bot}=bar{K}+K^bot$.

Quindi è tutta questione di continuità dei proiettori, come sta illustrando ViciousGoblin nell'altro thread.

[amel3]

Ok, direi che ho capito, in pratica il nodo della questione è che la decomposizione ortogonale di uno spazio di Hilbert è sempre una somma diretta topologica. Grazie mille!