Spazi di Banach infinito-dimensionali
Mi chiedevo...
Se V è uno spazio di Banach di dimensione infinita e [tex]\{\mathbf{v}_i\}_{i\in I}[/tex] è una sua base di Hamel ( http://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)#Base_di_Hamel ), allora è vero che se una successione [tex]\mathbf{x}^{(k)}[/tex] converge (nella topologia indotta dalla norma) ad un vettore [tex]\mathbf{x}[/tex], allora, fissato un qualsiasi vettore [tex]\mathbf{v}_i[/tex] della base, la componente rispetto a tale vettore del generico elemento della successione converge (nella topologia standard di [tex]\mathbb{R}[/tex]) alla componente del vettore limite (rispetto al medesimo vettore della base)?
La proprietà inversa è in generale falsa e possiedo dei controesempi...
P.S. Chiedo la convergenza rispetto alla topologia standard perché è la topologia che viene indotta da V su [tex]\mathbb{R}[/tex], qualora si pensi quest'ultimo come isomorfo ad un sottospazio lineare di dimensione 1 di V.
Grazie per l'attenzione e la pazienza
Se V è uno spazio di Banach di dimensione infinita e [tex]\{\mathbf{v}_i\}_{i\in I}[/tex] è una sua base di Hamel ( http://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)#Base_di_Hamel ), allora è vero che se una successione [tex]\mathbf{x}^{(k)}[/tex] converge (nella topologia indotta dalla norma) ad un vettore [tex]\mathbf{x}[/tex], allora, fissato un qualsiasi vettore [tex]\mathbf{v}_i[/tex] della base, la componente rispetto a tale vettore del generico elemento della successione converge (nella topologia standard di [tex]\mathbb{R}[/tex]) alla componente del vettore limite (rispetto al medesimo vettore della base)?
La proprietà inversa è in generale falsa e possiedo dei controesempi...
P.S. Chiedo la convergenza rispetto alla topologia standard perché è la topologia che viene indotta da V su [tex]\mathbb{R}[/tex], qualora si pensi quest'ultimo come isomorfo ad un sottospazio lineare di dimensione 1 di V.
Grazie per l'attenzione e la pazienza
Risposte
Credo fortemente che la risposta sia no ma non sono sicuro che sia facile fornire un controesempio. Il guaio è che in genere non conosci una base algebrica di uno spazio di Banach: per il lemma di Zorn ne esiste sicuramente almeno una, ma costruttivamente trovarla potrebbe non essere possibile. A complicare le cose, essa deve necessariamente avere cardinalità più che numerabile, per via di certe considerazioni topologiche (che sono state fatte anche su questo forum): questa complicazione non c'è più se lasci cadere l'ipotesi di avere uno spazio di Banach. Ad esempio lo spazio dei polinomi, equipaggiato con la norma uniforme, ha una base algebrica numerabile (e infatti non è di Banach).
Comunque il tuo è un problema di proiettori. Scrivo una definizione che permette di riformulare la tua domanda in forma compatta, forse può essere utile:
Def.: Dato uno spazio normato [tex]V[/tex] e un proprio sottospazio [tex]W[/tex], diciamo proiettore ogni operatore lineare [tex]P\colon V \to W[/tex] surgettivo e tale che [tex]PPx=Px[/tex] per ogni [tex]x\inV[/tex] ([tex]P[/tex] è idempotente).
In particolare, dato un vettore [tex]\bold{v_i}\ne \bold{0}[/tex] appartenente ad una base algebrica [tex]\{\bold{v_i}\}_{i \in I}[/tex] possiamo considerare [tex]W[/tex] come il sottospazio generato da [tex]\bold{v_i}[/tex] e [tex]P[/tex] come l'applicazione che ad ogni [tex]\bold{x}[/tex] associa la propria componente lungo la direzione di [tex]\bold{v_i}[/tex]. Questo è un proiettore. La domanda che poni si può allora riformulare come:
Comunque il tuo è un problema di proiettori. Scrivo una definizione che permette di riformulare la tua domanda in forma compatta, forse può essere utile:
Def.: Dato uno spazio normato [tex]V[/tex] e un proprio sottospazio [tex]W[/tex], diciamo proiettore ogni operatore lineare [tex]P\colon V \to W[/tex] surgettivo e tale che [tex]PPx=Px[/tex] per ogni [tex]x\inV[/tex] ([tex]P[/tex] è idempotente).
In particolare, dato un vettore [tex]\bold{v_i}\ne \bold{0}[/tex] appartenente ad una base algebrica [tex]\{\bold{v_i}\}_{i \in I}[/tex] possiamo considerare [tex]W[/tex] come il sottospazio generato da [tex]\bold{v_i}[/tex] e [tex]P[/tex] come l'applicazione che ad ogni [tex]\bold{x}[/tex] associa la propria componente lungo la direzione di [tex]\bold{v_i}[/tex]. Questo è un proiettore. La domanda che poni si può allora riformulare come:
- [tex]P[/tex] è sempre continuo?[/list:u:32h4wwws]
Si può cercare allora un controesempio in cui cade qualche conseguenza della continuità, per esempio un [tex]P[/tex] come sopra tale che [tex]\ker P[/tex] non è chiuso.
Grazie per la risposta dissonance...
Purtroppo mi rendo conto che non si tratta di un argomento molto facile... Mi sarebbe piaciuto dimostrare la proprietà che citavo, ossia la continuità dei proiettori di quella forma, ma sto veramente impazzendo...
Scusa se approfitto della tua disponibilità... Non è che per caso sei a conoscenza di una base di intorni nella topologia indotta dalla norma, più facile da maneggiare della base fatta dagli intorni sferici? Questa domanda è giustificata da un'analogia al caso finito...
Mi rendo perfettamente conto che la domanda è molto (troppo) vaga, ma non so dove sbattere la testa. Di più, posso dire che sarei felice di avere una base fatta da intorni "rettangolari" (nel qual caso la tesi sarebbe praticamente ovvia...)
Grazie ancora
Purtroppo mi rendo conto che non si tratta di un argomento molto facile... Mi sarebbe piaciuto dimostrare la proprietà che citavo, ossia la continuità dei proiettori di quella forma, ma sto veramente impazzendo...
Scusa se approfitto della tua disponibilità... Non è che per caso sei a conoscenza di una base di intorni nella topologia indotta dalla norma, più facile da maneggiare della base fatta dagli intorni sferici? Questa domanda è giustificata da un'analogia al caso finito...
Mi rendo perfettamente conto che la domanda è molto (troppo) vaga, ma non so dove sbattere la testa. Di più, posso dire che sarei felice di avere una base fatta da intorni "rettangolari" (nel qual caso la tesi sarebbe praticamente ovvia...)
Grazie ancora
Eh no, niente intorni "rettangolari"!!! Quelli li avresti se lo spazio fosse il prodotto topologico delle rette generate dai [tex]\{v_i\}_{i\in I}[/tex]. Ma questo è tipico della dimensione finita, in dimensione infinita lo perdi.
Un abbozzo di controesempio. Prendi lo spazio dei polinomi reali visti come funzioni [tex][-1, 1]\to\mathbb{R}[/tex], munito della norma [tex]\lVert p \rVert=\int_{-1}^1\lvert p(x) \rvert\,dx[/tex]. Una base algebrica è [tex]\{1, x, x^2, \ldots\}[/tex], e il proiettore lungo la direzione del vettore [tex]1[/tex] è l'applicazione
[tex]\delta(p)=p(0)[/tex] (delta di Dirac).
Questo, ci scommetto, non è continuo rispetto alla norma data. Secondo me esiste una successione di polinomi che tende a zero rispetto a quella norma ma tale che [tex]p_n(0)=1[/tex] per ogni [tex]n[/tex].
Un abbozzo di controesempio. Prendi lo spazio dei polinomi reali visti come funzioni [tex][-1, 1]\to\mathbb{R}[/tex], munito della norma [tex]\lVert p \rVert=\int_{-1}^1\lvert p(x) \rvert\,dx[/tex]. Una base algebrica è [tex]\{1, x, x^2, \ldots\}[/tex], e il proiettore lungo la direzione del vettore [tex]1[/tex] è l'applicazione
[tex]\delta(p)=p(0)[/tex] (delta di Dirac).
Questo, ci scommetto, non è continuo rispetto alla norma data. Secondo me esiste una successione di polinomi che tende a zero rispetto a quella norma ma tale che [tex]p_n(0)=1[/tex] per ogni [tex]n[/tex].
E se invece di [tex][-1,1][/tex], prendessimo [tex][-1,0][/tex]?
Consideriamo la successione di polinomi [tex]p_n(x) = (x+1)^n[/tex]. Allora [tex]\|p_n(x) - \mathbf{0}\| = \|p_n(x)\| = \int_{-1}^0 (x+1)^n dx = \frac{1}{n+1}[/tex] e quindi c'è effettivamente convergenza al polinomio nullo, ma [tex]p(0) = 1[/tex].
Groan
... grazie dissonance... mi hai tolto un peso da addosso, anche se avrei preferito l'altra opzione...
Beh, vorrà dire che me ne farò una ragione
Consideriamo la successione di polinomi [tex]p_n(x) = (x+1)^n[/tex]. Allora [tex]\|p_n(x) - \mathbf{0}\| = \|p_n(x)\| = \int_{-1}^0 (x+1)^n dx = \frac{1}{n+1}[/tex] e quindi c'è effettivamente convergenza al polinomio nullo, ma [tex]p(0) = 1[/tex].
Groan
... grazie dissonance... mi hai tolto un peso da addosso, anche se avrei preferito l'altra opzione...Beh, vorrà dire che me ne farò una ragione
Bravo, ottimo esempio!
Il fatto è che quando si trattano gli spazi normati di dimensione infinita, il concetto di "base algebrica" perde quasi tutta l'importanza che ha nel caso finito-dimensionale. (E questo lo posso dire con tranquillità perché è confortato da questa affermazione di ViciousGoblin). Infatti le basi algebriche, oltre ad essere in generale molto complicate (se non impossibili) da esprimere, non dialogano bene con la topologia, come dimostra questo topic.
Il fatto è che quando si trattano gli spazi normati di dimensione infinita, il concetto di "base algebrica" perde quasi tutta l'importanza che ha nel caso finito-dimensionale. (E questo lo posso dire con tranquillità perché è confortato da questa affermazione di ViciousGoblin). Infatti le basi algebriche, oltre ad essere in generale molto complicate (se non impossibili) da esprimere, non dialogano bene con la topologia, come dimostra questo topic.
Mmm... credo di capire, anche se di fatto questa è la mia prima esperienza con gli spazi in dimensione infinita (a di poco traumatica! 
).
Grazie della disponibilità. Probabilmente sarei rimasto bloccato su quella proprietà per chissà quanto altro tempo ancora...
).Grazie della disponibilità. Probabilmente sarei rimasto bloccato su quella proprietà per chissà quanto altro tempo ancora...
Per chi fosse interessato, credo di aver dimostrato il seguente risultato:
Sia [tex](V,\|\cdot\|)[/tex] uno spazio di Banach di dimensione qualsiasi (finita od infinita) sul campo [tex]\mathbb{K}[/tex]. Sia inoltre [tex]\left\{\mathbf{v}_i\right\}_{i \in I}[/tex] una sua base di Hamel; infine, indichiamo con [tex]\mathcal{T}[/tex] la topologia indotta su [tex]V[/tex] dalla norma.
Sia [tex](V,\|\cdot\|)[/tex] uno spazio di Banach di dimensione qualsiasi (finita od infinita) sul campo [tex]\mathbb{K}[/tex]. Sia inoltre [tex]\left\{\mathbf{v}_i\right\}_{i \in I}[/tex] una sua base di Hamel; infine, indichiamo con [tex]\mathcal{T}[/tex] la topologia indotta su [tex]V[/tex] dalla norma.
- 1) Mostrare che [tex]V \simeq \bigoplus_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] (dove con [tex]\bigoplus[/tex] indico la somma diretta) e dedurne che [tex]\mathbb{K}[/tex] può essere pensato come un sottospazio vettoriale di [tex]V[/tex]
2) Su [tex]\mathbb{K}[/tex] si ponga allora la norma [tex]\|\cdot\|_1[/tex] indotta dalla norma di [tex]V[/tex]; indichiamo con [tex]\tau_1[/tex] la topologia di [tex]\mathbb{K}[/tex] indotta da [tex]\|\cdot\|_1[/tex] e con [tex]\tau_2[/tex] la topologia indotta da [tex]V[/tex] (pensato come spazio topologico) su [tex]\mathbb{K}[/tex] (pensato come suo sottospazio). Mostrare che [tex]\tau_1 = \tau_2[/tex]. (ricordando che, per definizione di spazio di Banach [tex]\mathbb{K} \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}[/tex], a quale altra topologia sono uguali [tex]\tau_1[/tex] e [tex]\tau_2[/tex]?)
3) Consideriamo lo spazio [tex]\prod_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] e dotiamolo della topologia [tex]\mathcal{T}^\prime[/tex] di Tychonoff. Per definizione di somma diretta, vale [tex]\bigoplus_{i\in I}\mathbb{K} \subseteq \prod_{i\in I}\mathbb{K}[/tex]. Sia [tex]\mathcal{T}_1[/tex] la topologia indotta su [tex]\bigoplus_{i \in I}\mathbb{K} \simeq V[/tex] da [tex]\prod_{i\in I} \mathbb{K}[/tex]. Mostrare che [tex]\mathcal{T} = \mathcal{T}_1[/tex] se e solo se [tex]V[/tex] ha dimensione finita.[/list:u:sd61pzk6]
Se qualcuno volesse cimentarsi...
Sono d'accordo [size=75](* vedi edit)[/size] sul fatto che il risultato è vero. Intanto sui primi 2 punti direi che non c'è molto da dire, quello interessante è il terzo. Supponiamo che [tex]V[/tex] abbia dimensione finita e che [tex]\{\bold{v}_i\}[/tex] sia una base finita. Allora il fatto che la topologia su [tex]V[/tex] sia il prodotto delle topologie delle rette [tex]\{ \lambda \bold{v}_i \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/tex] è un fatto facile che se necessario possiamo fare dopo.
La cosa interessante è il viceversa: se [tex]V[/tex] è prodotto topologico delle rette, allora ha dimensione finita. Questo come conseguenza del teorema di Riesz: uno spazio normato in cui la sfera unitaria chiusa sia compatta ha necessariamente dimensione finita. Se [tex]V[/tex] è il prodotto delle rette [tex]\{ \lambda \bold{v}_i \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/tex], allora la propria sfera unitaria chiusa è compatta perché chiusa nel compatto [tex]$ \prod [-1, 1][/tex] (il fatto che questo insieme sia compatto è conseguenza del teorema di Tychonoff).
(se&o)
Avevi pensato a questa dimostrazione?
[edit]C'è da fare qualche aggiustamento nella dimostrazione di sopra. Il fatto che la sfera unitaria sia inclusa in [tex]\prod [-1, 1][/tex] l'ho buttato lì ma ripensandoci non sono troppo sicuro che sia vero. Anzi non sono troppo sicuro del risultato in generale. Ci devo riflettere un po' meglio.
La cosa interessante è il viceversa: se [tex]V[/tex] è prodotto topologico delle rette, allora ha dimensione finita. Questo come conseguenza del teorema di Riesz: uno spazio normato in cui la sfera unitaria chiusa sia compatta ha necessariamente dimensione finita. Se [tex]V[/tex] è il prodotto delle rette [tex]\{ \lambda \bold{v}_i \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/tex], allora la propria sfera unitaria chiusa è compatta perché chiusa nel compatto [tex]$ \prod [-1, 1][/tex] (il fatto che questo insieme sia compatto è conseguenza del teorema di Tychonoff).
(se&o)
Avevi pensato a questa dimostrazione?
[edit]C'è da fare qualche aggiustamento nella dimostrazione di sopra. Il fatto che la sfera unitaria sia inclusa in [tex]\prod [-1, 1][/tex] l'ho buttato lì ma ripensandoci non sono troppo sicuro che sia vero. Anzi non sono troppo sicuro del risultato in generale. Ci devo riflettere un po' meglio.
Sono d'accordo che i primi due punti siano banali. Servono semplicemente per introdurre la costruzione fatta nel terzo.
D'altra parte, dissonance, quello che affermi è falso in generale. Un controesempio è questo: consideriamo lo spazio dei polinomi [tex]\mathbb{R}[x][/tex] dotato della norma uno sull'intervallo [tex][0,1][/tex] (come sopra). Consideriamo il polinomio [tex]p(x) = 2 - 2x[/tex]. Allora [tex]\int_0^1 |2 -2x| dx = 1[/tex] e quindi questo polinomio appartiene alla sfera unitaria; tuttavia, non appartiene all'ipercubo unitario perché i suoi coefficienti sono maggiori di 1 in modulo.
La mia dimostrazione segue un approccio leggermente diverso. Inizialmente, infatti, speravo che le due topologie coincidessero sempre (questo fatto mi avrebbe garantito la convergenza componente a componente). Il risultato mi sarebbe poi servito come lemma per dimostrare la parte non banale del teorema di Riesz (se V ha dimensione infinita, allora la sfera non è compatta). Non lo conoscevo come teorema di Riesz, sto pensando a questi argomenti di dimensione infinita un po' per diletto, senza studiare precisamente su un testo. Questo, in particolare, è un esercizio che ho trovato qui.
Ebbene, mentre tentavo di dimostrare che le due topologie coincidevano, ho dimostrato che non coincidevano affatto in dimensione infinita! E, visto che il mio obiettivo era il teorema di Riesz, non lo ho impiegato in questa dimostrazione (che dovrebbe essere corretta)...
P.S. Mi potresti scrivere o linkare il teorema di Tychonoff a cui ti riferisci? Io associo il nome solo alla definizione di topologia prodotto nel caso generale e non ho mai visto la dimostrazione che [tex]\prod [-1,1][/tex] è un compatto, però mi interesserebbe moltissimo!
D'altra parte, dissonance, quello che affermi è falso in generale. Un controesempio è questo: consideriamo lo spazio dei polinomi [tex]\mathbb{R}[x][/tex] dotato della norma uno sull'intervallo [tex][0,1][/tex] (come sopra). Consideriamo il polinomio [tex]p(x) = 2 - 2x[/tex]. Allora [tex]\int_0^1 |2 -2x| dx = 1[/tex] e quindi questo polinomio appartiene alla sfera unitaria; tuttavia, non appartiene all'ipercubo unitario perché i suoi coefficienti sono maggiori di 1 in modulo.
La mia dimostrazione segue un approccio leggermente diverso. Inizialmente, infatti, speravo che le due topologie coincidessero sempre (questo fatto mi avrebbe garantito la convergenza componente a componente). Il risultato mi sarebbe poi servito come lemma per dimostrare la parte non banale del teorema di Riesz (se V ha dimensione infinita, allora la sfera non è compatta). Non lo conoscevo come teorema di Riesz, sto pensando a questi argomenti di dimensione infinita un po' per diletto, senza studiare precisamente su un testo. Questo, in particolare, è un esercizio che ho trovato qui.
Ebbene, mentre tentavo di dimostrare che le due topologie coincidevano, ho dimostrato che non coincidevano affatto in dimensione infinita! E, visto che il mio obiettivo era il teorema di Riesz, non lo ho impiegato in questa dimostrazione (che dovrebbe essere corretta)...
P.S. Mi potresti scrivere o linkare il teorema di Tychonoff a cui ti riferisci? Io associo il nome solo alla definizione di topologia prodotto nel caso generale e non ho mai visto la dimostrazione che [tex]\prod [-1,1][/tex] è un compatto, però mi interesserebbe moltissimo!
Il teorema di Tychonoff (§1.23 pag.189 sulle dispense di Gilardi) si enuncia in modo molto semplice:
il prodotto topologico (prodotto di Tychonoff come lo chiami tu) di spazi compatti è compatto.
Molto meno semplice è la dimostrazione che fa uso di concetti scivolosi di teoria degli insiemi: induzione transfinita e, in ultima analisi, l'assioma della scelta. Se ti dovesse servire studiarla mi pare che su Gilardi non ci sia; in questo caso ti consiglio il capitolo apposito del manuale Topology di J.Munkres.
Comunque, ti ringrazio per avere sottolineato l'errore del mio ragionamento di sopra. Infatti mi puzzava. A questo punto mi interessa sapere, se non è troppo complicato, come hai dimostrato che, se [tex]V[/tex] ha dimensione infinita, le due topologie sono distinte. Magari scrivi solo un abbozzo di dimostrazione e vediamo se ci capiamo.
il prodotto topologico (prodotto di Tychonoff come lo chiami tu) di spazi compatti è compatto.
Molto meno semplice è la dimostrazione che fa uso di concetti scivolosi di teoria degli insiemi: induzione transfinita e, in ultima analisi, l'assioma della scelta. Se ti dovesse servire studiarla mi pare che su Gilardi non ci sia; in questo caso ti consiglio il capitolo apposito del manuale Topology di J.Munkres.
Comunque, ti ringrazio per avere sottolineato l'errore del mio ragionamento di sopra. Infatti mi puzzava. A questo punto mi interessa sapere, se non è troppo complicato, come hai dimostrato che, se [tex]V[/tex] ha dimensione infinita, le due topologie sono distinte. Magari scrivi solo un abbozzo di dimostrazione e vediamo se ci capiamo.
Innanzi tutto, ti ringrazio per le references.
Per quanto riguarda la dimostrazione, spero solo di non aver fatto deduzioni sbagliate.
Una premessa sulle notazioni: con [tex]\pi_i[/tex] indico la proiezione canonica nell'i-esimo spazio fattore di un prodotto cartesiano.
Parto dall'assunzione che fissato un punto [tex]x\in \prod_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] una base del suo filtro degli intorni è dato da [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^n U_{i_k} \times \prod \mathbb{K}[/tex], dove [tex]U_{i_k}[/tex] è un intorno in [tex]\mathbb{K}[/tex] di [tex]\pi_{i_k}(x)[/tex]. Quindi una base degli intorni di un punto è formato dal prodotto cartesiano di intorni di un numero finito delle sue componenti, più l'intero spazio [tex]\mathbb{K}[/tex] per tutti gli altri indici. Spero di essere riuscito a farmi capire. Questo fatto è sicuramente vero (lo riporta anche la pagina che avevo linkato precedentemente di Wikipedia). In ogni caso, se servisse, basta dirmelo e posto la dimostrazione.
Per conseguenza, una base dei filtri degli intorni di un punto in [tex]\mathcal{T}_1[/tex] di [tex]V[/tex] è formata da tutte le intersezioni dei precedenti oggetti con [tex]\bigoplus_{i\in I} \mathbb{K}[/tex].
Supponiamo per assurdo che [tex]\mathcal{T} = \mathcal{T}_1[/tex]. Allora, in particolare, consideriamo il vettore nullo: [tex]\mathbf{0}[/tex]. Fissiamo un intorno di tale vettore in [tex]\mathcal{T}[/tex]. Ad esempio, possiamo prendere proprio la sfera unitaria, [tex]B_\mathbf{0}(1) = \{\mathbf{x}\in V : \|\mathbf{x}\| = 1 \}[/tex]. Per l'ipotesi assurda, deve esistere un intorno di [tex]\mathbf{0}[/tex] della base della topologia [tex]\mathcal{T}_1[/tex] interamente contenuto in [tex]B_\mathbf{0}(1)[/tex]. Tuttavia, scelto un qualsiasi intorno appartenente alla base di [tex]\mathcal{T}_1[/tex], esso si scriverà, per quanto ho detto prima, nella seguente forma:
[tex]\displaystyle \prod_{k=1}^n U_{i_k} \times \prod \mathbb{K} \cap \bigoplus_{i \in I} \mathbb{K}[/tex]. Bene, ma allora, avendo supposto la dimensione infinita, esiste almeno un indice [tex]j \not \in \{i_1, i_2, \ldots, i_n\}[/tex]. Sia [tex]\mathbf{v}_j[/tex] il vettore della base di Hamel corrispondente. Naturalmente, possiamo supporre che il vettore sia normalizzato (altrimenti, lo sostituiamo con [tex]\displaystyle\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}[/tex]). Pertanto, otteniamo che se [tex]\lambda \in \mathbb{K}, |\lambda| > 1[/tex], allora [tex]\|\lambda \mathbf{v}_i\| = |\lambda| \|\mathbf{v}_i\| = |\lambda| > 1[/tex] e quindi [tex]\lambda \mathbf{v}_i \not \in B_\mathbf{0}(1)[/tex]. D'altronde è perfettamente ovvio che [tex]\lambda\mathbf{v}_i \in \bigoplus_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] (ha una sola componente diversa da 0!). Quindi abbiamo ottenuto che, per ogni scelta di un intorno U della base in [tex]\mathcal{T}_1[/tex], [tex]U \not \subset B_\mathbf{0}(1)[/tex] e questo è assurdo.
Pertanto segue che le due topologie devono essere distinte.
Come ti sembra?
Per quanto riguarda la dimostrazione, spero solo di non aver fatto deduzioni sbagliate.
Una premessa sulle notazioni: con [tex]\pi_i[/tex] indico la proiezione canonica nell'i-esimo spazio fattore di un prodotto cartesiano.
Parto dall'assunzione che fissato un punto [tex]x\in \prod_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] una base del suo filtro degli intorni è dato da [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^n U_{i_k} \times \prod \mathbb{K}[/tex], dove [tex]U_{i_k}[/tex] è un intorno in [tex]\mathbb{K}[/tex] di [tex]\pi_{i_k}(x)[/tex]. Quindi una base degli intorni di un punto è formato dal prodotto cartesiano di intorni di un numero finito delle sue componenti, più l'intero spazio [tex]\mathbb{K}[/tex] per tutti gli altri indici. Spero di essere riuscito a farmi capire. Questo fatto è sicuramente vero (lo riporta anche la pagina che avevo linkato precedentemente di Wikipedia). In ogni caso, se servisse, basta dirmelo e posto la dimostrazione.
Per conseguenza, una base dei filtri degli intorni di un punto in [tex]\mathcal{T}_1[/tex] di [tex]V[/tex] è formata da tutte le intersezioni dei precedenti oggetti con [tex]\bigoplus_{i\in I} \mathbb{K}[/tex].
Supponiamo per assurdo che [tex]\mathcal{T} = \mathcal{T}_1[/tex]. Allora, in particolare, consideriamo il vettore nullo: [tex]\mathbf{0}[/tex]. Fissiamo un intorno di tale vettore in [tex]\mathcal{T}[/tex]. Ad esempio, possiamo prendere proprio la sfera unitaria, [tex]B_\mathbf{0}(1) = \{\mathbf{x}\in V : \|\mathbf{x}\| = 1 \}[/tex]. Per l'ipotesi assurda, deve esistere un intorno di [tex]\mathbf{0}[/tex] della base della topologia [tex]\mathcal{T}_1[/tex] interamente contenuto in [tex]B_\mathbf{0}(1)[/tex]. Tuttavia, scelto un qualsiasi intorno appartenente alla base di [tex]\mathcal{T}_1[/tex], esso si scriverà, per quanto ho detto prima, nella seguente forma:
[tex]\displaystyle \prod_{k=1}^n U_{i_k} \times \prod \mathbb{K} \cap \bigoplus_{i \in I} \mathbb{K}[/tex]. Bene, ma allora, avendo supposto la dimensione infinita, esiste almeno un indice [tex]j \not \in \{i_1, i_2, \ldots, i_n\}[/tex]. Sia [tex]\mathbf{v}_j[/tex] il vettore della base di Hamel corrispondente. Naturalmente, possiamo supporre che il vettore sia normalizzato (altrimenti, lo sostituiamo con [tex]\displaystyle\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}[/tex]). Pertanto, otteniamo che se [tex]\lambda \in \mathbb{K}, |\lambda| > 1[/tex], allora [tex]\|\lambda \mathbf{v}_i\| = |\lambda| \|\mathbf{v}_i\| = |\lambda| > 1[/tex] e quindi [tex]\lambda \mathbf{v}_i \not \in B_\mathbf{0}(1)[/tex]. D'altronde è perfettamente ovvio che [tex]\lambda\mathbf{v}_i \in \bigoplus_{i\in I} \mathbb{K}[/tex] (ha una sola componente diversa da 0!). Quindi abbiamo ottenuto che, per ogni scelta di un intorno U della base in [tex]\mathcal{T}_1[/tex], [tex]U \not \subset B_\mathbf{0}(1)[/tex] e questo è assurdo.
Pertanto segue che le due topologie devono essere distinte.
Come ti sembra?
Ok, mi convince. Con piccoli ritocchi al linguaggio si può riscrivere in forma compatta:
sia [tex]I[/tex] intorno dell'origine rispetto a [tex]\mathcal{T}_1[/tex], la topologia prodotto. Se [tex]V[/tex] non ha dimensione finita, [tex]I[/tex] deve necessariamente contenere una retta vettoriale; in particolare [tex]I[/tex] non è limitato rispetto a [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex]. Abbiamo quindi che nella topologia [tex]\mathcal{T}_1[/tex] tutti gli intorni dell'origine sono non limitati e questo implica evidentemente che le due topologie [tex]\mathcal{T},\,\mathcal{T}_1[/tex] sono diverse.
Va bene. E' carina questa osservazione, bravo! Aggiungerei una chiusa:
in generale tra le [tex]\mathcal{T},\, \mathcal{T}_1[/tex] non ci sono relazioni di inclusione. Abbiamo appena visto che, se [tex]V[/tex] non ha dimensione finita, non è possibile che [tex]\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_1[/tex]. Ma anche l'inclusione inversa è falsa in generale. Infatti, essendo [tex]\mathcal{T}_1[/tex] la meno fine tra le topologie su [tex]V[/tex] a rendere continui i proiettori [tex]\pi_i[/tex], dire che
[tex]\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}[/tex]
equivale a dire che tutti i [tex]\pi_i[/tex] sono continui. Ma esistono esempi di proiettori non continui, come la [tex]\delta[/tex] di Dirac che abbiamo considerato sopra.
Questo dà un senso più preciso alla frase "le basi algebriche non dialogano bene con la topologia".
sia [tex]I[/tex] intorno dell'origine rispetto a [tex]\mathcal{T}_1[/tex], la topologia prodotto. Se [tex]V[/tex] non ha dimensione finita, [tex]I[/tex] deve necessariamente contenere una retta vettoriale; in particolare [tex]I[/tex] non è limitato rispetto a [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex]. Abbiamo quindi che nella topologia [tex]\mathcal{T}_1[/tex] tutti gli intorni dell'origine sono non limitati e questo implica evidentemente che le due topologie [tex]\mathcal{T},\,\mathcal{T}_1[/tex] sono diverse.
Va bene. E' carina questa osservazione, bravo! Aggiungerei una chiusa:
in generale tra le [tex]\mathcal{T},\, \mathcal{T}_1[/tex] non ci sono relazioni di inclusione. Abbiamo appena visto che, se [tex]V[/tex] non ha dimensione finita, non è possibile che [tex]\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_1[/tex]. Ma anche l'inclusione inversa è falsa in generale. Infatti, essendo [tex]\mathcal{T}_1[/tex] la meno fine tra le topologie su [tex]V[/tex] a rendere continui i proiettori [tex]\pi_i[/tex], dire che
[tex]\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}[/tex]
equivale a dire che tutti i [tex]\pi_i[/tex] sono continui. Ma esistono esempi di proiettori non continui, come la [tex]\delta[/tex] di Dirac che abbiamo considerato sopra.
Questo dà un senso più preciso alla frase "le basi algebriche non dialogano bene con la topologia".
Sì, mi sono dilungato un pochino 
Bella anche l'altra osservazione. In questo modo abbiamo trovato che le due topologie sono "molto lontane" l'una dall'altra!
Bella anche l'altra osservazione. In questo modo abbiamo trovato che le due topologie sono "molto lontane" l'una dall'altra!
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