Spazi di Banach, Hilbert ed Lp
Ciao a tutti,
il problema che vorrei porvi oggi riguarda gli spazi di Banach e di Hilbert.
Premesso che ho sufficientemente chiare le definizioni di questi spazi vorrei trovare degli esempi.
Ho letto che gli spazi L^p sono esempi di spazi di Banach (p>=1) e in particolare L^2 lo è anche di Hilbert.
Vorrei chiarita questa cosa quindi vi chiedo cortesemente di farmi un esempio di spazio L ed L^2 dimostrando che appartengono a quegli spazi. Vi chiedo comunque di fare una piccola esposizione semplice e banale, giusto per chiarire ulteriormente questo concetto. Grazie mille
il problema che vorrei porvi oggi riguarda gli spazi di Banach e di Hilbert.
Premesso che ho sufficientemente chiare le definizioni di questi spazi vorrei trovare degli esempi.
Ho letto che gli spazi L^p sono esempi di spazi di Banach (p>=1) e in particolare L^2 lo è anche di Hilbert.
Vorrei chiarita questa cosa quindi vi chiedo cortesemente di farmi un esempio di spazio L ed L^2 dimostrando che appartengono a quegli spazi. Vi chiedo comunque di fare una piccola esposizione semplice e banale, giusto per chiarire ulteriormente questo concetto. Grazie mille
Risposte
In realtà non si capisce bene cosa vuoi.
Cioè, gli spazi $L^p$ sono quelli che sono, non è che c'è da fare esempi...
In altre parole, quello di spazio $L^p$ non è un concetto di "astratto", per cui c'è bisogno di fare esempi (che sò, come gli spazi vettoriali, gli spazi metrici, gli spazi topologici, ...); il concetto di spazio $L^p$ è "concreto", poichè uno spazio $L^p$ è fatto da funzioni che si toccano già con mano.
Ma forse tu vuoi esempi di funzioni che stanno in $L^p$?
Cioè, gli spazi $L^p$ sono quelli che sono, non è che c'è da fare esempi...
In altre parole, quello di spazio $L^p$ non è un concetto di "astratto", per cui c'è bisogno di fare esempi (che sò, come gli spazi vettoriali, gli spazi metrici, gli spazi topologici, ...); il concetto di spazio $L^p$ è "concreto", poichè uno spazio $L^p$ è fatto da funzioni che si toccano già con mano.
Ma forse tu vuoi esempi di funzioni che stanno in $L^p$?
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Forse come dici tu il mio dubbio parte dalle funzioni Lp quindi se riuscissi a vedere la concretezza di cui parli non avrei motivo di porre la domanda. Mi fai qualche esempio di funzione che stanno in Lp?
Intanto è sempre bene specificare qual'è il dominio delle funzioni che consideri e dunque dire [tex]L^p[/tex] ha senso se si sottintende che si stia parlando di [tex]L^p(\mathbb{R})[/tex]. Ora devi solo applicare la definizione. Prendiamo per concretezza [tex]L^p([0,1])[/tex] questo è lo spazio delle funzioni di variabile reale [tex]\phi(x)[/tex] tali che l'integrale di [tex][\phi(x)]^p[/tex] sull'intervallo [tex][0,1][/tex] non diverge... Quindi ti basta, per esempio, prendere le funzioni che stanno in [tex]C^0([0,1])[/tex] e sei a posto, va da se che questa classe non esaurisce tutto lo spazio che è molto più ricco!
E' più chiaro così?
E' più chiaro così?
Ecco un esempio su spazi $L^p $ .
Trovare una funzione $y in L^1(0,1) $ e NON $in L^2(0,1) $.
Provo con una funzione continua in $(0,1)$ : $y=x $ che senz'altro appartiene a $L^1(0,1)$ ma appartiene anche a $L^2(0,1)$ quindi non soddisfa la richiesta.
Allora provo con una funzione che abbia una singolarità in $x=0 $ ad es $y=1/x^alpha (alpha >0 )$.
$y $ deve appartenere ad $L^1(0,1)$ quindi deve essere $alpha < 1 $; anche però NON deve appartenere a $L^2(0,1)$ , quindi
$2 alpha > 1 rarr alpha > 1/2$.(*)
In conclusione $ 1/2
(*) se fosse$ 2alpha < 1 rarr alpha < 1/2 $ allora $ y in L^2(0,1) $ che non è quello che è richiesto.
Propongo due esercizi
1) Trovare una funzione $y in L^2(1,oo) $ ma NON $in L^1(1,oo)$.
2) Per $p=1,2 $ determinare i valori di $ alpha > 0 $ per i quali $x^(-alpha) in L^p(0,1)$ e quelli per cui $x^(-alpha) in L^p(1,oo)$.
Trovare una funzione $y in L^1(0,1) $ e NON $in L^2(0,1) $.
Provo con una funzione continua in $(0,1)$ : $y=x $ che senz'altro appartiene a $L^1(0,1)$ ma appartiene anche a $L^2(0,1)$ quindi non soddisfa la richiesta.
Allora provo con una funzione che abbia una singolarità in $x=0 $ ad es $y=1/x^alpha (alpha >0 )$.
$y $ deve appartenere ad $L^1(0,1)$ quindi deve essere $alpha < 1 $; anche però NON deve appartenere a $L^2(0,1)$ , quindi
$2 alpha > 1 rarr alpha > 1/2$.(*)
In conclusione $ 1/2
(*) se fosse$ 2alpha < 1 rarr alpha < 1/2 $ allora $ y in L^2(0,1) $ che non è quello che è richiesto.
Propongo due esercizi
1) Trovare una funzione $y in L^2(1,oo) $ ma NON $in L^1(1,oo)$.
2) Per $p=1,2 $ determinare i valori di $ alpha > 0 $ per i quali $x^(-alpha) in L^p(0,1)$ e quelli per cui $x^(-alpha) in L^p(1,oo)$.
"Fab10Messi":
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Forse come dici tu il mio dubbio parte dalle funzioni Lp quindi se riuscissi a vedere la concretezza di cui parli non avrei motivo di porre la domanda. Mi fai qualche esempio di funzione che stanno in Lp?
Sarebbe interessante sapere da quale testo studi, così da capire il background...
Ad ogni modo, ecco un esempio classico.
La funzione [tex]$f(x):=\frac{1}{\sqrt{x}}$[/tex] è in [tex]$L^p([0,1])$[/tex] solo se [tex]$1\leq p<2$[/tex].
Infatti considera l'integrale di Lebesgue:
[tex]$\int_0^1 |f(x)|^p\ \text{d} x=\int_0^1 \frac{1}{x^\frac{p}{2}}\ \text{d} x$[/tex]
e ricorda che, per noti fatti di teoria dell'integrazione, esso coincide con l'integrale improprio di Riemann di [tex]$\tfrac{1}{x^\frac{p}{2}}$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex]; allora:
[tex]$\int_0^1 |f(x)|^p\ \text{d} x= \begin{cases} \lim_{r\to 0^+} \frac{1}{1-\frac{p}{2}}\ \left[ x^{1-\frac{p}{2}}\right]_r^1 &\text{, se $p\neq 2$} \\ \lim_{r\to 0^+} \left[ \ln x \right]_r^1 &\text{, se $p=2$} \end{cases}$[/tex]
[tex]$= \begin{cases} \frac{1}{1-\frac{p}{2}}\ \lim_{r\to 0^+} (1-r^{1-\frac{p}{2}}) &\text{, se $p\neq 2$} \\ \lim_{r\to 0^+} -\ln r &\text{, se $p=2$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} +\infty &\text{, se $p\geq 2$} \\ \frac{1}{1- \frac{p}{2}} &\text{, se $1\leq p<2$} \end{cases}$[/tex];
quindi, visto che [tex]$f\in L^p([0,1])$[/tex] se e solo se [tex]\int_0^1 |f(x)|^p\ \text{d} x <+\infty[/tex], risulta [tex]$f\in L^p([0,1])$[/tex] solo per [tex]$1\leq p<2$[/tex].
Ora prova tu a considerare il caso della funzione [tex]$f(x):=\frac{1}{x^3}$[/tex] e vedi se è possibile determinare [tex]$p \in [1,\infty]$[/tex] in modo che [tex]$f\in L^p([1,+\infty[)$[/tex].
***EDIT: Camillo, mi hai preceduto!
Siete stati chiarissimi. In effetti era una domanda banale perchè la definizione di Spazio Lp riportata su wikipedia è già abbastanza chiara.
Comunque i vostri post hanno chiarito ogni dubbio. Grazie ancora!
Comunque i vostri post hanno chiarito ogni dubbio. Grazie ancora!
Anche se mi è chiara la differenza tra spazi di Banach e spazi di Hilbert ho ancora qualche dubbio che preferirei levarmi:
- è giusto dire che gli spazi di Hilbert sono degli spazi di Banach particolari?
- non so come trovare un esempio di spazio di Banach che però NON sia anche di hilbert
- è giusto dire che gli spazi di Hilbert sono degli spazi di Banach particolari?
- non so come trovare un esempio di spazio di Banach che però NON sia anche di hilbert
1) si;
2) ce ne sono tantissimi: in generale tutte le norme che contengono un $"sup"$ NON sono di Hilbert. Quindi sono spazi di Banach ma non di Hilbert $L^infty(RR), C([0, 1]), C^1([0, 1])...$.
2) ce ne sono tantissimi: in generale tutte le norme che contengono un $"sup"$ NON sono di Hilbert. Quindi sono spazi di Banach ma non di Hilbert $L^infty(RR), C([0, 1]), C^1([0, 1])...$.
Ti ringrazio per la risposta. Domani provo a verificare che gli esempi che mi hai fatto sono di Banach ma non di Hilbert, così vedo se ho effettivamente capito...
Ricordati della identità del parallelogramma, lo strumento più semplice per riconoscere gli spazi normati pre-hilbertiani.
Ma direi cha anche tutti gli [tex]$L^p(I)$[/tex] con [tex]$p\neq 2$[/tex] sono Banach, ma non Hilbert.
@dissonance: Scusa, non avevo visto il tuo post.
@dissonance: Scusa, non avevo visto il tuo post.
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