Spazi di Banach e di Hilbert

[_Tipper]

Qualcuno mi potrebbe confermare (o smentire) queste affermazioni?

1) Sia $V$ uno spazio di Banach (di Hilbert) e sia $V'$ un sottospazio di $V$. Se $\dim(V') < + \infty$ allora $V'$ è uno spazio di Banach (di Hilbert)

2) Sia $V$ uno spazio di Banach e sia $V'$ un sottospazio di $V$. Allora $V'$ è completo $\iff$ è chiuso. In tal caso $V'$ è uno spazio di Banach (con la norma ereditata da $V$).

3) Sia $V$ uno spazio di Hilbert e sia $V'$ un sottospazio di $V$. Allora $V'$ è completo $\iff$ è chiuso. In tal caso $V'$ è uno spazio di Hilbert (con il prodotto scalare ereditato da $V$).

Grazie.

[Eredir]

"Tipper":2) Sia $V$ uno spazio di Banach e sia $V'$ un sottospazio di $V$. Allora $V'$ è completo $\iff$ è chiuso. In tal caso $V'$ è uno spazio di Banach (con la norma ereditata da $V$).

E' vero. In generale se $V$ non è completo (quindi non è uno spazio di Banach, ma solo uno spazio vettoriale normato) un sottospazio chiuso $V'$ può essere completo o non completo, mentre se $V'$ non è chiuso sicuramente non è completo.

"Tipper":3) Sia $V$ uno spazio di Hilbert e sia $V'$ un sottospazio di $V$. Allora $V'$ è completo $\iff$ è chiuso. In tal caso $V'$ è uno spazio di Hilbert (con il prodotto scalare ereditato da $V$).

Uno spazio di Hilbert con la norma data dal prodotto scalare è completo, quindi come sopra.

[_Tipper]

Ok, grazie Eredir.