Spazi di Banach
Una questione che non pare del tutto banale. Siano $X,Y,Z$ spazi di Banach.
Denoto con $Y'$ e $Z'*$ i duali di $Y$ e $Z$. Supponiamo che $X$ sia
isomorfo sia a $Y'$ che a $Z'$ e che $Y$ sia separabile. è vero che anche
$Z$ è separabile?
Denoto con $Y'$ e $Z'*$ i duali di $Y$ e $Z$. Supponiamo che $X$ sia
isomorfo sia a $Y'$ che a $Z'$ e che $Y$ sia separabile. è vero che anche
$Z$ è separabile?
Risposte
separabile con che topologia su X metrica o debole?
metrica
Essendo un po' arrugginito sull'argomento volevo, se possibile, alcune precisazioni.
1) E' giusto esprimere la tesi dicendo: Se $Y'$ è isomorfo a $Z'$ e se $Y$ è separabile, allora $Z$ è separabile?
(mi pare che $X$ non serva a molto nella formulazione).
2) Se il problema è quello sopra verrebbe spontaneo chiedersi se non sia vero che $Y'$ isomorfo a $Z'$
implichi $Y$ isomorfo a $Z$. E' ovvio che questo non è vero ? Nei dieci minuti in cui ci ho pensato non ho
capito quale sia la situazione; mi sembra però che, se non è vero, sia importante capire come mai.
1) E' giusto esprimere la tesi dicendo: Se $Y'$ è isomorfo a $Z'$ e se $Y$ è separabile, allora $Z$ è separabile?
(mi pare che $X$ non serva a molto nella formulazione).
2) Se il problema è quello sopra verrebbe spontaneo chiedersi se non sia vero che $Y'$ isomorfo a $Z'$
implichi $Y$ isomorfo a $Z$. E' ovvio che questo non è vero ? Nei dieci minuti in cui ci ho pensato non ho
capito quale sia la situazione; mi sembra però che, se non è vero, sia importante capire come mai.
"ViciousGoblinEnters":
1) E' giusto esprimere la tesi dicendo: Se $Y'$ è isomorfo a $Z'$ e se $Y$ è separabile, allora $Z$ è separabile?
(mi pare che $X$ non serva a molto nella formulazione).
certo
"ViciousGoblinEnters":
2) Se il problema è quello sopra verrebbe spontaneo chiedersi se non sia vero che $Y'$ isomorfo a $Z'$
implichi $Y$ isomorfo a $Z$. E' ovvio che questo non è vero ? Nei dieci minuti in cui ci ho pensato non ho
capito quale sia la situazione; mi sembra però che, se non è vero, sia importante capire come mai.
non è vero: ad esempio $c_0$ e $c_{00}$ hanno lo stesso duale $l^1$ ma non sono isomorfi.
"ubermensch":
[quote="ViciousGoblinEnters"]
1) E' giusto esprimere la tesi dicendo: Se $Y'$ è isomorfo a $Z'$ e se $Y$ è separabile, allora $Z$ è separabile?
(mi pare che $X$ non serva a molto nella formulazione).
certo
"ViciousGoblinEnters":
2) Se il problema è quello sopra verrebbe spontaneo chiedersi se non sia vero che $Y'$ isomorfo a $Z'$
implichi $Y$ isomorfo a $Z$. E' ovvio che questo non è vero ? Nei dieci minuti in cui ci ho pensato non ho
capito quale sia la situazione; mi sembra però che, se non è vero, sia importante capire come mai.
non è vero: ad esempio $c_0$ e $c_{00}$ hanno lo stesso duale $l^1$ ma non sono isomorfi.[/quote]
Ma $c_(00)$ non è di Banach...
"Gugo82":
[quote="ubermensch"][quote="ViciousGoblinEnters"]
1) E' giusto esprimere la tesi dicendo: Se $Y'$ è isomorfo a $Z'$ e se $Y$ è separabile, allora $Z$ è separabile?
(mi pare che $X$ non serva a molto nella formulazione).
certo
"ViciousGoblinEnters":
2) Se il problema è quello sopra verrebbe spontaneo chiedersi se non sia vero che $Y'$ isomorfo a $Z'$
implichi $Y$ isomorfo a $Z$. E' ovvio che questo non è vero ? Nei dieci minuti in cui ci ho pensato non ho
capito quale sia la situazione; mi sembra però che, se non è vero, sia importante capire come mai.
non è vero: ad esempio $c_0$ e $c_{00}$ hanno lo stesso duale $l^1$ ma non sono isomorfi.[/quote]
Ma $c_(00)$ non è di Banach...[/quote]
Penso che ubermensch volesse dire che $c$ e $c_0$ hanno entrambi $l^1$ come duale ma non sono isomorfi,
dove $c:={"successioni convergenti" }$ e $c_0:={"successioni infinitesime" }$ (mi sono documentato ...).
Però trovarne uno separabile e l' altro no ....Boh. BEL PROBLEMA.
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QUALCHE TEMPO DOPO
In questo momento direi che $c$ è isomorfo a $c_0\times RR$ che direi essere isomorfo a $c_0$ (tramite uno shift).
Se è così non vedo ancora il controesempio al fatto che $Y'$ isomorfo a $Z'$ implichi $Y$ isomorfo a $Z$.
Non vedo neanche la dimostrazione però ...
"ViciousGoblinEnters":
In questo momento direi che $c$ è isomorfo a $c_0\times RR$ che direi essere isomorfo a $c_0$
sei sicuro? cosa intendi per shift? c'è qualcosa di tremendamente banale che sfugge ad uno dei due.
P.S. va bene prendere $c$ e $c_0$ anzichè $c_0$ e $c_{00}$. Stavo ragionando senza l'ipotesi che $X$ fosse banach
"ubermensch":
c'è qualcosa di tremendamente banale che sfugge ad uno dei due.
P.S. va bene prendere $c$ e $c_0$ anzichè $c_0$ e $c_{00}$. Stavo ragionando senza l'ipotesi che $X$ fosse banach
Ho la stessa (spiacevole) sensazione.
Concordi sul fatto che $c$ è isomorfo a $c_0\times RR$ (con la topologia prodotto)? Data $(a_n)$ con $a_n\to l$ gli associ $( (a_n-l), l)$ e viceversa.
Peraltro $c_o\times RR$ lo puoi mappare su $c_0$ associando a una coppia $((a_n),l)$ la successione $(b_n)$ definita da:
$b_0=l$, $b_n=a_{n-1}$ per $n\geq 1$ (è come aggiungere una coordinata)
Questa mappa mi pare lineare, continua nella norma del sup, e invertibile.
Dove sbaglio?
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AGGIUNTA
Sono arrivato a quanto sopra cercando di vedere come mai sia $c$ che $c_0$ abbiano come duale $l^1$. Ora nel caso di $c_0$ la cosa mi è
perfettamente chiara. Nel caso di $c$, invece la cosa che mi pare naturale è dire che il duale di $C$ è $l^1\times RR$ (se $c=c_0\times RR$ ).
Ma $l^1\times RR$ e $l^1$ sono isomorfi ...
AGGIUNTA ULTERIORE
Cerco di spiegare meglio quanto ho detto nella prima "aggiunta". Quello che mi pare chiaro è:
1) se $T$ è un elemento del duale di $c_0$ allora è univocamente determinata una successione $(t_n)$ in $l^1$
tale che $T(a_n)=\sum_{n=0}^\infty t_n a_n$
2) Se $T_1$ è un elemento del duale di $c$ allora sono determinati univocamente una successione $(t_n)$ in $l^1$ e un numero reale $t$
tali che $T_1(a_n)=\sum_{n=0}^\infty t_n a_n+t\lim_{n\to\infty}a_n$
Quello che mi pare emerga è che l'identificazione del duale di $c$ con $l^1$ non è "canonica"
Ripeto di dirmi se e dove sbaglio!!
"ViciousGoblinEnters":
Peraltro $c_o\times RR$ lo puoi mappare su $c_0$ associando a una coppia $((a_n),l)$ la successione $(b_n)$ definita da:
$b_0=l$, $b_n=a_{n-1}$ per $n\geq 1$ (è come aggiungere una coordinata)
Questa mappa mi pare lineare, continua nella norma del sup, e invertibile.
sul prodotto mi pare che stai usando la norma sup delle norme dei fattori ... dunque questa va bene è anche isometrica..
l'isomorfismo fra $c$ e $c_0\times RR$ invece non è isometrico ma è certamente un omeomorfismo (perchè isometrico
nella norma equivalente somma delle norme) e quindi pure questa va bene ... fantastico ... non me l'aspettavo!
per le aggiunte mi pare che funzionino...
c'ho però un dubbio: se fosse vero che due spazi di Banach con lo stesso duale sono isomorfi, come cavolo è possibile che nessuno se
n'è mai accorto? Insomma una cosa del genere non è presente in nessun libro di analisi funzionale...
c'ho però un dubbio: se fosse vero che due spazi di Banach con lo stesso duale sono isomorfi, come cavolo è possibile che nessuno se
n'è mai accorto? Insomma una cosa del genere non è presente in nessun libro di analisi funzionale...
Infatti - dato che non riesco a trovare nulla a proposito nei libri ho il sospetto che sia falso. Però è una domanda così "semplice" che mi
pare impossibile che nessuno ne sappia nulla
is there anybody out there?
Ho girato almeno cinque libri di analisi funzionale.
Alla fine in "Functional analysis and infinite dimensional geometry"
(Springer 2001) di M.Fabian e altri,
a pagina 193 esercizio 6.18 ho trovato:
...provare che $l^\infty$ è isomorfo a $L^\infty([0,1])$. Dato che
$l^1$ non è isomorfo a $L^1([0,1])$, questo fornisce un esempio di spazi
non isomorfi i cui duali sono isomorfi.
Non ho ancora provato a dimostrare quanto sopra (anche perchè il suggerimento
rimanda ad argomenti che non conosco). Comunque sembra che la questione
dell'isomorfismo sia chiarita (e non sia banale).
Riguardo alla separabilità, continuero' a cercare.
Alla fine in "Functional analysis and infinite dimensional geometry"
(Springer 2001) di M.Fabian e altri,
a pagina 193 esercizio 6.18 ho trovato:
...provare che $l^\infty$ è isomorfo a $L^\infty([0,1])$. Dato che
$l^1$ non è isomorfo a $L^1([0,1])$, questo fornisce un esempio di spazi
non isomorfi i cui duali sono isomorfi.
Non ho ancora provato a dimostrare quanto sopra (anche perchè il suggerimento
rimanda ad argomenti che non conosco). Comunque sembra che la questione
dell'isomorfismo sia chiarita (e non sia banale).
Riguardo alla separabilità, continuero' a cercare.
"ViciousGoblinEnters":
...provare che $l^\infty$ è isomorfo a $L^\infty([0,1])$. Dato che
$l^1$ non è isomorfo a $L^1([0,1])$, questo fornisce un esempio di spazi
non isomorfi i cui duali sono isomorfi.
ah si?! fantastico!!
Riguardo alla separabilità, dopo una settimana di ragionamenti ho tirato fuori la seguente argomentazione
1) lemma: $X$ spazio di Banach. $X$ è separabile se e soltanto la palla unitaria di $X'$ verifica il primo assioma di numerabilità con la topologia *debole.
dimostrazione: non banale, la metto su esplicita richiesta.
2) conclusione parziale: se $X=Y',Z'$ e $Y$ è separabile, allora la palla unitaria di $X=Z'$ deve essere first-countable nella *debole e quindi anche $Z$ deve essere separabile.
3) se $X$ è solo isomorfo a $Y'$ e $Z'$, per ora non so cosa dire. Mi pare intuitivo che tutto continui ancora a funzionare, ma non ne sono sicurissimo.
Sfogliando Conway, A course on functional anlysis, ho trovato il seguente risultato
$X$ è separabile se e soltanto se la palla unitaria di $X'$ è *debolmente metrizzabile.
Siano allora $Y,Z$ spazi di Banach con duali isomorfi (cioè esiste un omeomorfismo lineare $\phi$ da $Y'$ su $Z'$).
Suppongo $Y$ separabile, allora la palla unitaria di $Y'$ è *debolmente metrizzabile. Ora, l'immagine di tale palle sotto $\phi$ è un metrizzabile con interno non vuoto in $Z'$ e quindi in $Z'$ esiste una palla chiusa *debolmente metrizzabile. Con opportune traslazioni e rinormalizzazioni possiamo allora dire che la palla unitaria di $Z'$ è *debolmente metrizzabile. Quindi $Z$ anche è separabile.
Dovrebbe funzionare... che dici?
$X$ è separabile se e soltanto se la palla unitaria di $X'$ è *debolmente metrizzabile.
Siano allora $Y,Z$ spazi di Banach con duali isomorfi (cioè esiste un omeomorfismo lineare $\phi$ da $Y'$ su $Z'$).
Suppongo $Y$ separabile, allora la palla unitaria di $Y'$ è *debolmente metrizzabile. Ora, l'immagine di tale palle sotto $\phi$ è un metrizzabile con interno non vuoto in $Z'$ e quindi in $Z'$ esiste una palla chiusa *debolmente metrizzabile. Con opportune traslazioni e rinormalizzazioni possiamo allora dire che la palla unitaria di $Z'$ è *debolmente metrizzabile. Quindi $Z$ anche è separabile.
Dovrebbe funzionare... che dici?
In effetti ero arrivato anch'io alla caratterizzazione mediante la metrizzabilità debole star della palla unitaria, ma poi??
Mi pare che il problema sia
$BALL_{Y'}$ debole star metrizzabile in $Y'$ più $Y'$ isomorfo a $Z'$ implica (???) $BALL_{Z'}$ debole star metrizzabile in $Z'$.
Proviamo.
Se capisco bene l'ipotesi mi è data una metrica $d_{Y'}$ su $B_{Y'}$ tale che $d_{Y'}(y'_n,y')\to 0$ se e solo se $y'_n\to y'$
debole star in $Y'$. Inoltre ho un isomorfismo $\phi:Y'\to Z'$. Ma come "trasferisco" $d_{Y'}$ su $Z'$ ?
Mi pare che, in definitiva, tu dica che:
$d_{Z'}(z'_1,z'_2):=d_{Y'}(\phi^{-1}(z_1'),\phi^{-1}(z_2'))$ per ogni $z'_1,z'_2$ in $\phi(BALL_{Y'})$
A occhio direi che $d_{Z'}$ è una distanza su $\phi(BALL_{Y'})$ (non $BALL_{Z'}$ ma questo dovrebbe aggiustarsi).
Comincio a essere ottimista.
Con questa definizione $d_{Z'}(z'_n,z')\to0$ se e solo se $d_{Y'}(\phi^{-1}(z'_n),\phi^{-1}(z'))\to0$ se e solo se $\phi^{-1}(z'_n)\to\phi^{-1}(z')$ debole star in $Y'$.
L'ultima proprietà significa
$\phi^{-1}(z'_n)(y)\to\phi^{-1}(z')(y)$ per ogni $y$ in $Y$ E QUI COSA FACCIO?? a me servirebbe ricavarne
$z'_n(z)\to z'(z)$ per ogni $z$ in $Z$, ma chi me lo da??
Sono risprofondato nel pessimismo -- inoltro comunque questo messaggio visto che ormai l'ho scritto.
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QUALCHE ORA DOPO
Il problema sembra dunque questo: E' vero che un isomorfismo tra due duali trasforma convergenza debole star in convergenza debole star?
Mi pare che il problema sia
$BALL_{Y'}$ debole star metrizzabile in $Y'$ più $Y'$ isomorfo a $Z'$ implica (???) $BALL_{Z'}$ debole star metrizzabile in $Z'$.
Proviamo.
Se capisco bene l'ipotesi mi è data una metrica $d_{Y'}$ su $B_{Y'}$ tale che $d_{Y'}(y'_n,y')\to 0$ se e solo se $y'_n\to y'$
debole star in $Y'$. Inoltre ho un isomorfismo $\phi:Y'\to Z'$. Ma come "trasferisco" $d_{Y'}$ su $Z'$ ?
Mi pare che, in definitiva, tu dica che:
$d_{Z'}(z'_1,z'_2):=d_{Y'}(\phi^{-1}(z_1'),\phi^{-1}(z_2'))$ per ogni $z'_1,z'_2$ in $\phi(BALL_{Y'})$
A occhio direi che $d_{Z'}$ è una distanza su $\phi(BALL_{Y'})$ (non $BALL_{Z'}$ ma questo dovrebbe aggiustarsi).
Comincio a essere ottimista.
Con questa definizione $d_{Z'}(z'_n,z')\to0$ se e solo se $d_{Y'}(\phi^{-1}(z'_n),\phi^{-1}(z'))\to0$ se e solo se $\phi^{-1}(z'_n)\to\phi^{-1}(z')$ debole star in $Y'$.
L'ultima proprietà significa
$\phi^{-1}(z'_n)(y)\to\phi^{-1}(z')(y)$ per ogni $y$ in $Y$ E QUI COSA FACCIO?? a me servirebbe ricavarne
$z'_n(z)\to z'(z)$ per ogni $z$ in $Z$, ma chi me lo da??
Sono risprofondato nel pessimismo -- inoltro comunque questo messaggio visto che ormai l'ho scritto.
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QUALCHE ORA DOPO
Il problema sembra dunque questo: E' vero che un isomorfismo tra due duali trasforma convergenza debole star in convergenza debole star?
La mia argomentazione non ti piace?
la ripeto: $\phi(BALL_{Y'})$ è metrizzabile nella topologia *debole di $Z'$. Siamo d'accordo su questo?
Ora $\phi(BALL_{Y'})$ contiene certamente una palla chiusa, in quanto è immagine omeomorfa di un insieme con parte interna non vuota. Per cui $Z'$ ha una palla chiusa metrizzabile. Facendo ora una traslazione e una normalizzazione possiamo supporre che tale palla chiusa sia la palla unitaria. Fine.
Ho fatto qualche passaggio illecito?
la ripeto: $\phi(BALL_{Y'})$ è metrizzabile nella topologia *debole di $Z'$. Siamo d'accordo su questo?
Ora $\phi(BALL_{Y'})$ contiene certamente una palla chiusa, in quanto è immagine omeomorfa di un insieme con parte interna non vuota. Per cui $Z'$ ha una palla chiusa metrizzabile. Facendo ora una traslazione e una normalizzazione possiamo supporre che tale palla chiusa sia la palla unitaria. Fine.
Ho fatto qualche passaggio illecito?
Ripeto che sono un po' arrugginito e quindi mi devo "ricostruire tutto". Se i miei dubbi sono sbagliati tanto meglio.
Cosa vuol dire che un insieme è metrizzabile nella topologia debole star? Io lo interpretavo dicendo
che c'e' una metrica che induce la topologia debole star, cioè una $d_{Y'}$ su $Y'$ tale che
la convergenza rispetto a $d_{Y'}$ implica (o coimplica ?) la convergenza debole star su $Y'$.
Allora come passo da $Y'$ a $Z'$ (ammessa l'esistenza dell isomorfismo $\phi$)? Mi pareva tu volessi definire
le palle in $Z'$ come l'immagine secondo $\phi$ di una palla in $Y'$ (e questo mi pareva equivalente a prendere
una distanza in $Z'$ definita come nel mio messaggio precedente, ma lasciamo perdere e pensiamo alle palle).
Da cosa deduci che se $\phi(BALL_{Y'})$ contiene una palla chiusa $Z'$ contiene una palla metrizzabile?
(bada bene nella topologia debole star di $Z'$).
Forse sto sbagliando tutto ma il problema mi pare dimostrare (ammesso che sia vero) che se una successione
in $Y'$ converge debole star in $Y'$ allora la sua immagine secondo $\phi$ converge debole star in $Z'$.
Ti rimando la palla ....
Cosa vuol dire che un insieme è metrizzabile nella topologia debole star? Io lo interpretavo dicendo
che c'e' una metrica che induce la topologia debole star, cioè una $d_{Y'}$ su $Y'$ tale che
la convergenza rispetto a $d_{Y'}$ implica (o coimplica ?) la convergenza debole star su $Y'$.
Allora come passo da $Y'$ a $Z'$ (ammessa l'esistenza dell isomorfismo $\phi$)? Mi pareva tu volessi definire
le palle in $Z'$ come l'immagine secondo $\phi$ di una palla in $Y'$ (e questo mi pareva equivalente a prendere
una distanza in $Z'$ definita come nel mio messaggio precedente, ma lasciamo perdere e pensiamo alle palle).
Da cosa deduci che se $\phi(BALL_{Y'})$ contiene una palla chiusa $Z'$ contiene una palla metrizzabile?
(bada bene nella topologia debole star di $Z'$).
Forse sto sbagliando tutto ma il problema mi pare dimostrare (ammesso che sia vero) che se una successione
in $Y'$ converge debole star in $Y'$ allora la sua immagine secondo $\phi$ converge debole star in $Z'$.
Ti rimando la palla ....
"ViciousGoblinEnters":
Da cosa deduci che se $\phi(BALL_{Y'})$ contiene una palla chiusa $Z'$ contiene una palla metrizzabile?
(bada bene nella topologia debole star di $Z'$).
beh... $\phi(BALL_{Y'})$ ha la topologia *debole metrizzabile e contiene una palla chiusa. (Bada bene che la palla chiusa che contiene è nel senso della norma non della metrica che induce la topologia *debole... anche se forse c'è da chiarire il motivo per cui una tale palla dovrebbe esistere)
Questa palla chiusa (se esiste!) ha la topologia *debole metrizzabile (è la metrica di $\phi(BALL_{Y'})$ ristretta) eccetera ...
Mi rendo conto che forse non è del tutto banale che $\phi(BALL_{Y'})$ contenga una palla (nel senso della norma) chiusa, in quanto $\phi$ è un omeo per le topologie *deboli e non per quelle indotte dalla norma. Allora... basta dimostrare che $\phi(BALL_{Y'})$ contiene punti interni rispetto alla topologia indotta dalla norma. Mi pare che sia vero: sia $z\in\phi(BALL_{Y'})$ e $O'(z)$ un intorno aperto *debole di $z$ tutto contenuto in $\phi(BALL_{Y'})$, allora $O'(z)$ contiene un intorno aperto nella topologia della norma, perchè questa è più fine della *debole.
funziona?
Capisco sempre meno ... Io davo per buono che $\phi:Y'\to Z'$ fosse una mappa lineare e continua rispetto alla
norma (forte) dei due spazi, avente inversa continua (questa dovrebbe essere la nozione di isomorfismo).
A questo punto, per come la vedo io, non so se $\phi$ è continua rispetto alla topologia debole star, in
partenza e in arrivo. Se ce l'avessi mi tornerebbe tutto, ma sospetto che sia falso.
A proposito del resto forse dovresti chiarirmi una cosa (se non hai voglia lascia perdere, continuero' a leggere,
per mia curiosità, qualche libro di analisi funzionale per rinfrescarmi le idee). Tu dici
ma chi ti da la topologia debole star su $\phi(BALL_{Y'})$ ? Non è proprio ciò che dovevamo dimostrare la possibilità di metrizzare tale
topologia?
norma (forte) dei due spazi, avente inversa continua (questa dovrebbe essere la nozione di isomorfismo).
A questo punto, per come la vedo io, non so se $\phi$ è continua rispetto alla topologia debole star, in
partenza e in arrivo. Se ce l'avessi mi tornerebbe tutto, ma sospetto che sia falso.
A proposito del resto forse dovresti chiarirmi una cosa (se non hai voglia lascia perdere, continuero' a leggere,
per mia curiosità, qualche libro di analisi funzionale per rinfrescarmi le idee). Tu dici
Questa palla chiusa (se esiste!) ha la topologia *debole metrizzabile (è la metrica di φ(BALLY') ristretta) eccetera ...
ma chi ti da la topologia debole star su $\phi(BALL_{Y'})$ ? Non è proprio ciò che dovevamo dimostrare la possibilità di metrizzare tale
topologia?
hai ragione, scusa, mi sto incasinando le idee. $\phi$ è un omeo nelle topologie indotte dalle norme - mica lo so perchè di punto in bianco ho pensato che lo fosse nelle topologie *deboli!
Resta il problema iniziale: chi diamine è la metrica su $\phi(BALL_{Y'})$? è quella che induce la topologia *debole?
e più importante: perchè ho dato per scontato che lo fosse?
Resta il problema iniziale: chi diamine è la metrica su $\phi(BALL_{Y'})$? è quella che induce la topologia *debole?
e più importante: perchè ho dato per scontato che lo fosse?
Ho l'impressione che ci siamo impelagati in un problema tosto.
Le cose semplici mi pare che non vengano e non trovo traccia di soluzioni in nessun libro.
Anzi i dubbi aumentano: ho trovato l'affermazione che $c$ e $c_0$ non sono isomorfi
"come spazi di Banach" e questo mi fa dubitare di aver capito la nozione di isomorfismo.
Continuero' a cercare quando ho tempo.
CI VORREBBE L'AIUTO DI UN ESPERTO
Le cose semplici mi pare che non vengano e non trovo traccia di soluzioni in nessun libro.
Anzi i dubbi aumentano: ho trovato l'affermazione che $c$ e $c_0$ non sono isomorfi
"come spazi di Banach" e questo mi fa dubitare di aver capito la nozione di isomorfismo.
Continuero' a cercare quando ho tempo.
CI VORREBBE L'AIUTO DI UN ESPERTO
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