Spazi Connessi/ Spazi Convessi
Ciao a tutti.
Chiedo cortesemente una panoramica su spazi connessi e spazi convessi dal momento che il mio professore di Analisi 2 spiega in maniera incomprensibile.
Vorrei riuscire a contestualizzare l'importanza di questi concetti matematici indispensabili per la definizione di continuità in uno spazio topologico. Mi basta solo l'idea (magari con una spiegazione geometrica) cosi da avere una lungimirante panoramica sul corso, le definizioni me le studio dal libro da solo. Vi ringrazio in anticipo.
Chiedo cortesemente una panoramica su spazi connessi e spazi convessi dal momento che il mio professore di Analisi 2 spiega in maniera incomprensibile.
Vorrei riuscire a contestualizzare l'importanza di questi concetti matematici indispensabili per la definizione di continuità in uno spazio topologico. Mi basta solo l'idea (magari con una spiegazione geometrica) cosi da avere una lungimirante panoramica sul corso, le definizioni me le studio dal libro da solo. Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Uno "spazio convesso" è una coppia \(\mathfrak{X} = (X,\{\textsf{cc}_\alpha\})\) dove $X$ è un insieme, e \(\{\textsf{cc}_\alpha\}\) una famiglia di operazioni binarie
\[
\big\{\textsf{cc}_\alpha \colon X\times X \to X \mid \alpha \in[0,1]\big\}
\] che soddisfano ai seguenti assiomi:
\[
\big\{\textsf{cc}_\alpha \colon X\times X \to X \mid \alpha \in[0,1]\big\}
\] che soddisfano ai seguenti assiomi:
[*:2amryg3q] (unità) \(\textsf{cc}_0(x,y)\equiv y\) per ogni $x,y\in X$;[/*:m:2amryg3q]
[*:2amryg3q] (idempotenza) \(\textsf{cc}_\alpha(x,x)=x\) per ogni $x\in X$;[/*:m:2amryg3q]
[*:2amryg3q] (pseudocommutatività) \(\textsf{cc}_\alpha(x,y) = \textsf{cc}_{1-\alpha}(y,x)\) per ogni $x,y\in X$;[/*:m:2amryg3q]
[*:2amryg3q] (pseudoassociatività) \(\textsf{cc}_\alpha(\textsf{cc}_\beta(x,y),z) =
\begin{cases}
\textsf{cc}_{\alpha\beta}\left(x,\textsf{cc}_{\frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta}}(y,z)\right) & \text{ se } \alpha\beta\neq 1 \\
\textsf{cc}_{\alpha\beta}(x,z) & \text{ se } \alpha=\beta=1
\end{cases}\) per ogni $x,y,z\in X$.[/*:m:2amryg3q][/list:u:2amryg3q]
"killing_buddha":
Uno "spazio convesso" è una coppia \(\mathfrak{X} = (X,\{\textsf{cc}_\alpha\})\) dove $X$ è un insieme, e \(\{\textsf{cc}_\alpha\}\) una famiglia di operazioni binarie
\[
\big\{\textsf{cc}_\alpha \colon X\times X \to X \mid \alpha \in[0,1]\big\}
\] che soddisfano ai seguenti assiomi:
[*:6lomrx9h] (unità) \(\textsf{cc}_0(x,y)\equiv y\) per ogni $x,y\in X$;[/*:m:6lomrx9h]
[*:6lomrx9h] (idempotenza) \(\textsf{cc}_\alpha(x,x)=x\) per ogni $x\in X$;[/*:m:6lomrx9h]
[*:6lomrx9h] (pseudocommutatività) \(\textsf{cc}_\alpha(x,y) = \textsf{cc}_{1-\alpha}(y,x)\) per ogni $x,y\in X$;[/*:m:6lomrx9h]
[*:6lomrx9h] (pseudoassociatività) \(\textsf{cc}_\alpha(\textsf{cc}_\beta(x,y),z) =
\begin{cases}
\textsf{cc}_{\alpha\beta}\left(x,\textsf{cc}_{\frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta}}(y,z)\right) & \text{ se } \alpha\beta\neq 1 \\
\textsf{cc}_{\alpha\beta}(x,z) & \text{ se } \alpha=\beta=1
\end{cases}\) per ogni $x,y,z\in X$.[/*:m:6lomrx9h][/list:u:6lomrx9h]
Come demolire uno studente ben intenzionato.
Nella mia vita ho lavorato anche su problematiche di analisi convessa, ma non mi sono mai imbattuto in queste cose. Per carità, esisteranno pure, ma stiamo parlando a uno studente di analisi 2.
1. spazi connessi: la connessione è una proprietà tipica degli spazi topologici, ma immagino che tu in analisi 2 faccia solo i rudimenti di topologia, magari solo spazi metrici. Le cose di base le trovi o sul tuo libro di testo /dispense o su un qualunque manuale introduttivo di topologia/spazi metrici
2. "spazi convessi": la nozione di convessità è una nozione che "vive" sostanzialmente dentro agli spazi vettoriali. Cerca la definizione di cosa sia un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale
Una cosa utile è che in R^n se un sottoinsieme E è convesso, allora è connesso (è anche stellato rispetto ad ogni suo punto, ergo è anche semplicemente connesso, se la cosa ti interessasse)
Un saluto a Fioravante che si vede raramente in rete 
in tutt'altre faccende affaccendato ... ( scuderie) .
Condivido pienamente il suo giudizio sull'intervento di killing_budda : la risposta va proporzionata alle conoscenze di chi fa la domanda altrimenti si ottiene un risultato negativo .
in tutt'altre faccende affaccendato ... ( scuderie) .Condivido pienamente il suo giudizio sull'intervento di killing_budda : la risposta va proporzionata alle conoscenze di chi fa la domanda altrimenti si ottiene un risultato negativo .
Ho l'impressione che la risposta di killing_budda sia uno scherzo, sara' anche vero quello che scrive ma non voglio credere che alla richiesta di essere chiari e semplici (studente di analisi 2!) quella sia la risposta.
Volevo divertirmi un po', sì. Il risultato è che voi avete detto da dove iniziare, e io dove si vuole andare a parare 
altrimenti questo studente così bene intenzionato rischia di finire a fare analisi, o quel che è peggio, teoria dei giochi 
Ora basta trollare però. A quelli che sanno cos'è uno spazio convesso dico quanto segue:
esiste una categoria \(\mathbf{Cvx}\) i cui oggetti sono gli spazi convessi $frX,frY...$ come definiti sopra, e i cui morfismi sono le funzioni $f : X\to Y$ che commutano con i \(\mathsf{cc}_\alpha\), ossia
\[
\begin{CD}
X \times X @>\textsf{cc}_\alpha>> X \\
@Vf\times fVV @VVfV\\
Y \times Y @>>\textsf{cc}_\alpha> Y
\end{CD}
\] Questa categoria ha la proprietà di essere la categoria delle algebre per una monade su \(\mathbf{Set}\), la quale è la "restrizione finita" della "monade di Giry" che manda uno spazio metrico completo e separabile $E$ nello spazio \(\text{Prob}(E, \mathfrak B(E))\) delle misure di probabilità definite sulla $\sigma$-algebra dei suoi boreliani, e dotando quest'ultimo spazio della topologia debole che rende continue le integrazioni. Viene fuori che questo spazio è a sua volta metrizzabile, completo e separabile, ossia che abbiamo definito una monade sulla categoria deli spazi polacchi: la chiamiamo \(\mathcal G : {\bf Polish}\to {\bf Polish}\).
Dare una struttura di spazio convesso significa essenzialmente dare una struttura di \(\mathcal G\)-algebra, ovvero dare una funzione misurabile \(h : \text{Prob}(E, \mathfrak B(E)) \to E\) le cui fibre sono sottospazi (chiusi e) convessi di \(\text{Prob}(E, \mathfrak B(E))\), e tali per cui \(\delta_x \in h^\leftarrow(x)\) per ogni $x\in E$.
Siccome la monade degli spazi convessi è finitaria (ossia commuta coi colimiti filtrati), e siccome esiste una corrispondenza tra monadi finitarie e teorie di Lawvere, deve esistere una categoria con prodotti finiti \(\bf FSM\) (la categoria dei "processi stocastici finiti") tale per cui \(\mathbf{Cvx} \cong [{\bf FSM}^\text{op},{\bf Set}]_\times\), la categoria dei funtori \({\bf FSM}^\text{op}\to {\bf Set}\) che commutano coi prodotti finiti.
Non riesco a pensare a una "teoria" più analitica della geometria convessa; eppure questa teoria è eminentemente algebrica, non ha nulla di trascendente nel senso tecnico, perché è catturata da una teoria (nel senso tecnico) finitaria. A latere, tutto ciò lo dico anche per smentire che
altrimenti questo studente così bene intenzionato rischia di finire a fare analisi, o quel che è peggio, teoria dei giochi Ora basta trollare però. A quelli che sanno cos'è uno spazio convesso dico quanto segue:
esiste una categoria \(\mathbf{Cvx}\) i cui oggetti sono gli spazi convessi $frX,frY...$ come definiti sopra, e i cui morfismi sono le funzioni $f : X\to Y$ che commutano con i \(\mathsf{cc}_\alpha\), ossia
\[
\begin{CD}
X \times X @>\textsf{cc}_\alpha>> X \\
@Vf\times fVV @VVfV\\
Y \times Y @>>\textsf{cc}_\alpha> Y
\end{CD}
\] Questa categoria ha la proprietà di essere la categoria delle algebre per una monade su \(\mathbf{Set}\), la quale è la "restrizione finita" della "monade di Giry" che manda uno spazio metrico completo e separabile $E$ nello spazio \(\text{Prob}(E, \mathfrak B(E))\) delle misure di probabilità definite sulla $\sigma$-algebra dei suoi boreliani, e dotando quest'ultimo spazio della topologia debole che rende continue le integrazioni. Viene fuori che questo spazio è a sua volta metrizzabile, completo e separabile, ossia che abbiamo definito una monade sulla categoria deli spazi polacchi: la chiamiamo \(\mathcal G : {\bf Polish}\to {\bf Polish}\).
Dare una struttura di spazio convesso significa essenzialmente dare una struttura di \(\mathcal G\)-algebra, ovvero dare una funzione misurabile \(h : \text{Prob}(E, \mathfrak B(E)) \to E\) le cui fibre sono sottospazi (chiusi e) convessi di \(\text{Prob}(E, \mathfrak B(E))\), e tali per cui \(\delta_x \in h^\leftarrow(x)\) per ogni $x\in E$.
Siccome la monade degli spazi convessi è finitaria (ossia commuta coi colimiti filtrati), e siccome esiste una corrispondenza tra monadi finitarie e teorie di Lawvere, deve esistere una categoria con prodotti finiti \(\bf FSM\) (la categoria dei "processi stocastici finiti") tale per cui \(\mathbf{Cvx} \cong [{\bf FSM}^\text{op},{\bf Set}]_\times\), la categoria dei funtori \({\bf FSM}^\text{op}\to {\bf Set}\) che commutano coi prodotti finiti.
Non riesco a pensare a una "teoria" più analitica della geometria convessa; eppure questa teoria è eminentemente algebrica, non ha nulla di trascendente nel senso tecnico, perché è catturata da una teoria (nel senso tecnico) finitaria. A latere, tutto ciò lo dico anche per smentire che
la nozione di convessità è una nozione che "vive" sostanzialmente dentro agli spazi vettoriali
La pagina di Wikipedia inglese pare fatta bene. La "generalizzazione-della-generalizzazione" che dice killing-buddha è l'ultimo paragrafo. È simpatico leggere il punto 1. di queste note di Terry Tao.
Ok, adesso che il buddha ci ha fatto vedere per l'ennesima volta quanto è bravo a giocare con le frecce, noi possiamo tornare alle nostre disuguaglianze geometriche ed analitiche o all'ottimizzazione, in cui si capisce veramente a che serve la convessità... 
"gugo82":
Ok, adesso che il buddha ci ha fatto vedere per l'ennesima volta quanto è bravo a giocare con le frecce, noi possiamo tornare alle nostre disuguaglianze geometriche ed analitiche in cui si capisce veramente a che serve la convessità...
Io non sono bravo, sono brave le persone che sono state capaci di astrarre delle definizioni vere da quella roba
"killing_buddha":[/quote]
Volevo divertirmi un po', sì.
...
A latere, tutto ciò lo dico anche per smentire che (*)
[quote="FioravantePatrone"]la nozione di convessità è una nozione che "vive" sostanzialmente dentro agli spazi vettoriali
Grazie a dissonance per il link a Tao. In effetti avevo esagerato parlando di spazi vettoriali
"Much like convexity, order structure is specific to the real line"
(*) ho aggiunto il mio nome perché mi danno molto fastidio quelli che citano senza dire chi citano...
Vi ringrazio tutti tantissimo anche se ho capito ancora di più di non aver capito 
o meglio, qualcosa l'ho capito ma ho anche capito che quello che penso di aver capito è una parte infinitesima di ciò che si può capire.
o meglio, qualcosa l'ho capito ma ho anche capito che quello che penso di aver capito è una parte infinitesima di ciò che si può capire.
Finché la frazione di ciò che hai capito contiene la verità immutabile per cui l'analisi è brutta, tutto bene 
"killing_buddha":
Finché la frazione di ciò che hai capito contiene la verità immutabile per cui l'analisi è brutta, tutto bene
L'analisi sarà sicuramente brutta, però ultimamente tu stai sempre da queste parti!
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