Sottovarietà
ciao a tutti
volevo chiedervi come si dimostra se una certo insieme (come per esempio K={ (x,y,z) ∈ ℝ^3 ⎮x^2 + y^2 = z^2}) NON è una sottovarietà.
grazie mille!
volevo chiedervi come si dimostra se una certo insieme (come per esempio K={ (x,y,z) ∈ ℝ^3 ⎮x^2 + y^2 = z^2}) NON è una sottovarietà.
grazie mille!
Risposte
Risposta flash:
Consideri $F: RR^3 \mapsto RR$ differenziabile $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$, i punti critici di $F$ sono quelli che rendono il differenziale non surgettivo, nel nostro caso quelli tali che $\nabla F=0$ cioè solo ${O}$, applicando una proposizione che poi ti scriverò, $F^{-1}(0)\\{O}$ è una sottovarietà, purtroppo nel tuo insieme c'è ${O}$ quindi questo potrebbe creare problemi (vedi dimostrazione della proposizione) nel definire le carte degli atlanti.
Consideri $F: RR^3 \mapsto RR$ differenziabile $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$, i punti critici di $F$ sono quelli che rendono il differenziale non surgettivo, nel nostro caso quelli tali che $\nabla F=0$ cioè solo ${O}$, applicando una proposizione che poi ti scriverò, $F^{-1}(0)\\{O}$ è una sottovarietà, purtroppo nel tuo insieme c'è ${O}$ quindi questo potrebbe creare problemi (vedi dimostrazione della proposizione) nel definire le carte degli atlanti.
Potresti dire che non è una varietà perchè è connesso e diventa sconnesso se si toglie l'origine (mentre una varietà connessa di dimensione almeno $2$ rimane tale se si toglie un punto).
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