Sottosucessioni (dubbio teorico)
Avevo un dubbio sula necessità di associare al concetto di limite le sottosuccessioni e non le successioni;il mio dubbio è:quando ho una successione non basta dire che essa tende al limite se un numero definito di elementi non tende a questo limite? Cioè la necessità di introdurre il concetto della sottosuccessione sta nel fatto che tutti gli elementi di essa (dato che differisce dalla successione a meno di un numero finito di elementi) tendono al limite?.
Sulla linea di questo pensiero volevo postare la mia dimostrazione in $RR$ dell'implicazione : se ogni sottosuccessione della successione ${a_n}$ ha limite in $RR$ allora la successione ${a_n}$ ha limite in $RR$.
Dalla mia dimostrazione basta che esiste una sottosuccessione che tende ad $l$ allora la successione ha limte $l$:
Dimostrazione:
Dato che la sottosuccessione differisce da un numero definito di elementi preso $a_{\xi}$ come l'elemento con indice più grande che differisce dalla sottosuccessione e non tende ad $l$ allora $\forall n > \xi $ infiniti punti di ${a_n}$ tenderanno al limite perché sono uguali ai punti della sottosuccessione e quindi la successione ${a_n} tende al limite $\ell $ .
sicuramente questa dimostrazione è sbagliata vorrei sapere dov'è che sbaglio (forse quel numero finito di punti della successione che non tende al limite?),e come posso dimostrare che questa proposizione vale con l'ogni (dimostrazione diretta, non con l'asurdo per favore
)
Grazie in anticipo a tutti voi per l'aiuto.
Stefano.
Sulla linea di questo pensiero volevo postare la mia dimostrazione in $RR$ dell'implicazione : se ogni sottosuccessione della successione ${a_n}$ ha limite in $RR$ allora la successione ${a_n}$ ha limite in $RR$.
Dalla mia dimostrazione basta che esiste una sottosuccessione che tende ad $l$ allora la successione ha limte $l$:
Dimostrazione:
Dato che la sottosuccessione differisce da un numero definito di elementi preso $a_{\xi}$ come l'elemento con indice più grande che differisce dalla sottosuccessione e non tende ad $l$ allora $\forall n > \xi $ infiniti punti di ${a_n}$ tenderanno al limite perché sono uguali ai punti della sottosuccessione e quindi la successione ${a_n} tende al limite $\ell $ .
sicuramente questa dimostrazione è sbagliata vorrei sapere dov'è che sbaglio (forse quel numero finito di punti della successione che non tende al limite?),e come posso dimostrare che questa proposizione vale con l'ogni (dimostrazione diretta, non con l'asurdo per favore
)Grazie in anticipo a tutti voi per l'aiuto.
Stefano.
Risposte
Qui:
Dato che la sottosuccessione differisce da un numero definito di elementi
"Gengis Cohen":
Qui
ok ma allora le sottosuccessioni che diferiscon di un numero definto di elementi non c'interessano?
"Ariz93":
Avevo un dubbio sula necessità di associare al concetto di limite le sottosuccessioni e non le successioni;il mio dubbio è:quando ho una successione non basta dire che essa tende al limite se un numero definito di elementi non tende a questo limite? Cioè la necessità di introdurre il concetto della sottosuccessione sta nel fatto che tutti gli elementi di essa (dato che differisce dalla successione a meno di un numero finito di elementi) tendono al limite?.
Sulla linea di questo pensiero volevo postare la mia dimostrazione in $RR$ dell'implicazione : se ogni sottosuccessione della successione ${a_n}$ ha limite in $RR$ allora la successione ${a_n}$ ha limite in $RR$.
Dalla mia dimostrazione basta che esiste una sottosuccessione che tende ad $l$ allora la successione ha limte $l$
Questa ultima affermazione è falsissima, ed avresti potuto certamente accorgertene da solo con un semplicissimo controesempio.
Infatti, la successione di termine generale \(a_n:=(-1)^n\) ha due estratte convergenti (perché costanti), i.e. l'estratta pari \(a_{2h}=1\) e l'estratta dispari \(a_{2k+1}=-1\), ma \((a_n)\) si guarda bene dal convergere.
Per quel che riguarda la parte iniziale del discorso, non si capisce cosa tu voglia sostenere.
Sembra quasi che per te tutte le successioni estratte da una generica \((a_n)\) differiscano da essa per un numero finito di termini... Ma non è affatto così!
Ad esempio, la successione \((a_{2^n})\), che ha per termini \(a_1,a_2,a_4,a_8,a_{16},\ldots ,a_{2^n},\ldots\), non contiene alcun termine di \((a_n)\) di posto dispari (ad esempio) e ti dovrebbe essere sufficientemente noto che tali termini sono infiniti.
Buon di
esplicitando quando precede
la successione definita sui naturali:
1,0,1,0,1. .....
la sottosuccessione di indici dispari converge a 1;
la sottosuccessione di indice pari converge a 0;
ma la successione si partenza non è regolare;
quindi ....
Ma è vero che:
Se converge la successione allora lo sono tutte le estratte e per di più
hanno tutte lo stesso limite;
Però si potrebbe in un certo senso "invertire" il teorema così:
se un numero finito di sottosuccessioni converge a l;
la unione degli indici delle successioni è N
allora
la successione di partenza converge ad l;
Cordiali saluti
esplicitando quando precede
la successione definita sui naturali:
1,0,1,0,1. .....
la sottosuccessione di indici dispari converge a 1;
la sottosuccessione di indice pari converge a 0;
ma la successione si partenza non è regolare;
quindi ....
Ma è vero che:
Se converge la successione allora lo sono tutte le estratte e per di più
hanno tutte lo stesso limite;
Però si potrebbe in un certo senso "invertire" il teorema così:
se un numero finito di sottosuccessioni converge a l;
la unione degli indici delle successioni è N
allora
la successione di partenza converge ad l;
Cordiali saluti
"gugo82":
Questa ultima affermazione è falsissima, ed avresti potuto certamente accorgertene da solo con un semplicissimo controesempio.
Per quel che riguarda la parte iniziale del discorso, non si capisce cosa tu voglia sostenere.
Sembra quasi che per te tutte le successioni estratte da una generica \((a_n)\) differiscano da essa per un numero finito di termini... Ma non è affatto così!
No infatti era proprio questo che mi confondeva, la dimostrazione che ho fatto suppongo valga solo per sottosuccesioni che differiscono definitivamente da una successione,i tuoi controesempi mostrano banalmente che invece che per sotto-successioni che differiscono dalla successione per un numero infinito di elementi (anche intuitivamente lo si capisce) questo discorso non vale, ora la mia domanda riformulata è: si è introdotto questa tipo di concezione di limite(cioè con le sottosuccessioni) perché appunto se tutte le sottosuccessioni(comprese quelle che differiscono di un numero infinito di elementi dalla successione) tendono allo stesso limite allora questo esiste ed è il limite della successione; Intuitivamente lo capisco, ora mi tocca dimostrarlo!
(a breve proverò a proporne una che non sia per assurdo)."Mino_01":
la unione degli indici delle successioni è N
che intendi per "N" ?
"Mino_01":
la unione degli indici delle successioni è N
allora
la successione di partenza converge ad l;
Cordiali saluti
Non ho capito proprio il passaggio logico qui.
Ti chiedo scusa per la poca chiarezza
alle volte evito appositamente di essere formale...
Il teorema citato è:
Data la successione {Yn}.
Assegnate p successioni di numeri naturali strettamente crescenti
{K1,n} , {K2,n} ........ {Kp,n}
tali che la unione dei loro codomini è N (insieme dei numeri naturali).
Se sono convergenti le successioni estratte
{Y k1,n}, ....{Y kp,n} ;
se convergono allo stesso limite l ;
allora
la successione {Yn} converge e converge a l.
Le p successioni servono a costruire le estratte.
Spero di essere stato di aiuto
Cordiali saluti
alle volte evito appositamente di essere formale...
Il teorema citato è:
Data la successione {Yn}.
Assegnate p successioni di numeri naturali strettamente crescenti
{K1,n} , {K2,n} ........ {Kp,n}
tali che la unione dei loro codomini è N (insieme dei numeri naturali).
Se sono convergenti le successioni estratte
{Y k1,n}, ....{Y kp,n} ;
se convergono allo stesso limite l ;
allora
la successione {Yn} converge e converge a l.
Le p successioni servono a costruire le estratte.
Spero di essere stato di aiuto
Cordiali saluti
Allora , ecco una dimostrazione che penso sia credibile( 
): se ogni sottosuccessione tende a l prese la sottosuccessione ${a_{2n}}$ e quella ${a_{2n+1}}$ allora$ {a_{2n}} \cup {a_{2n+1}}=a_n$ e dato che definitivamente tendono al limite allora anche la loro unione (che sarebbero poi tutti gli elementi della successione) tendono a limite l , da qui la tesi.
): se ogni sottosuccessione tende a l prese la sottosuccessione ${a_{2n}}$ e quella ${a_{2n+1}}$ allora$ {a_{2n}} \cup {a_{2n+1}}=a_n$ e dato che definitivamente tendono al limite allora anche la loro unione (che sarebbero poi tutti gli elementi della successione) tendono a limite l , da qui la tesi.
Ma si può fare molto più semplicemente.
Voglio far vedere che:
Premetto un lemmino tecnico alquanto banale:
Dim (del Teorema sulle Successioni Estratte).: \(\Leftarrow\)) Dato che \((a_n)\) è estratta da se stessa (basta prendere \(k_n=n\) per ogni \(n\)), la cosa è banale.
\(\Rightarrow\)). Sia \((a_{k_n})\) una successione estratta da \((a_n)\). Per definizione di limite, in corrispondenza di un fissato intorno \(I\) di \(l\) trovo un indice \(\nu \) tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\quad a_n\in I\; ;
\]
dato che la successione degli indici \((k_n)\) è strettamente crescente, essa gode della proprietà di cui al lemma precedente e perciò ho certamente:
\[
\forall n\geq \nu,\ k_n\geq k_\nu\geq \nu
\]
da cui:
\[
\forall n\geq \nu,\ a_{k_n}\in I\; .
\]
L'arbitrarietà nella scelta dell'intorno \(I\) mi consente di dire che \(a_{k_n}\to l\). \(\square\)
Voglio far vedere che:
Si ha \(a_n\to l\) (con \(l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\)) se e solo se per ogni successione \((a_{k_n})\) estratta da \((a_n)\) risulta \(a_{k_n}\to l\).
Premetto un lemmino tecnico alquanto banale:
Sia \((k_n)\) una successione di numeri naturali.
Se \((k_n)\) è strettamente crescente, allore si ha \(k_n\geq n\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
Dim (del Teorema sulle Successioni Estratte).: \(\Leftarrow\)) Dato che \((a_n)\) è estratta da se stessa (basta prendere \(k_n=n\) per ogni \(n\)), la cosa è banale.
\(\Rightarrow\)). Sia \((a_{k_n})\) una successione estratta da \((a_n)\). Per definizione di limite, in corrispondenza di un fissato intorno \(I\) di \(l\) trovo un indice \(\nu \) tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\quad a_n\in I\; ;
\]
dato che la successione degli indici \((k_n)\) è strettamente crescente, essa gode della proprietà di cui al lemma precedente e perciò ho certamente:
\[
\forall n\geq \nu,\ k_n\geq k_\nu\geq \nu
\]
da cui:
\[
\forall n\geq \nu,\ a_{k_n}\in I\; .
\]
L'arbitrarietà nella scelta dell'intorno \(I\) mi consente di dire che \(a_{k_n}\to l\). \(\square\)
ok come al solito ho complicato le cose xD grazie gugo!
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