Sottosuccessioni non convergenti
Salve a tutti,sto provando a svolgere questo esercizio : " posto $X=L^p(0,1) , p\in (1,\infty) $ e $ X= C[0,1] $ si costruisca una successione ${u_n}_(n=1)^\infty \subset X$ che non ammetta sottosuccessioni convergenti e sia tale che $ ||u_n||_X=1 ,n=1,....$ .Si mostri che una costruzione simile si può fare in un generico spazio normato di dimensione infinita".
Come dovrei fare ? Grazie.
Come dovrei fare ? Grazie.
Risposte
Sicura del testo? Chi è \(X\), \(L^p(0,1)\) o \(C([0,1])\)?
Inoltre, che tipo di convergenza non devono soddisfare le successioni estratte da \(\{u_n\}\)? Ovvero, non devono convergere in \(\lVert \cdot \rVert_p\), q.o., debolmente...?
Sii più precisa, grazie.
Inoltre, che tipo di convergenza non devono soddisfare le successioni estratte da \(\{u_n\}\)? Ovvero, non devono convergere in \(\lVert \cdot \rVert_p\), q.o., debolmente...?
Sii più precisa, grazie.
Sicurissima del testo ! Non è la prima volta che mi si chiede di ricontrollare il testo dell'esercizio ! Io posto gli esercizi di scritti vecchi di funzonale che non riesco proprio a capire e li ricopio tali e quali....non so che dirti ! Soltanto che brancolo nel buio per questo esame 
Quel che tu chiedi è un risultato importante.
La sfera unitaria è compatta in uno spazio normato se e solo se lo spazio ha dimensione finita (è un teorema dovuto a Riesz).
Ciò che a te viene chiesto è provare una implicazione.
Prova a pensare un po' in casi che ti sono più familiari. Ad esempio, in $L^2$: se ti dico pensa ad una successione di versori.. qual è la prima che ti viene in mente?
E in C([0,1]) ? E' uno spazio in cui dovresti sentirti a tuo agio..
In realtà si può fare in generale.. ma non ricordo per bene il teorema. Domani vedo meglio e ti do una referenza.
Anzi, eccola qua.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=7&t=1955
(si può linkare la concorrenza?
)
La sfera unitaria è compatta in uno spazio normato se e solo se lo spazio ha dimensione finita (è un teorema dovuto a Riesz).
Ciò che a te viene chiesto è provare una implicazione.
Prova a pensare un po' in casi che ti sono più familiari. Ad esempio, in $L^2$: se ti dico pensa ad una successione di versori.. qual è la prima che ti viene in mente?
E in C([0,1]) ? E' uno spazio in cui dovresti sentirti a tuo agio..
In realtà si può fare in generale.. ma non ricordo per bene il teorema. Domani vedo meglio e ti do una referenza.
Anzi, eccola qua.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=7&t=1955
(si può linkare la concorrenza?
)
Forse ho capito cosa ti sta chiedendo il testo.
Provo a parafrasare:
Il caso (A) è banale: infatti la successione:
\[u_n(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x=0 \\ \text{lineare} &\text{, se } 0
Il caso (B) è lievemente più complesso, ma comunque semplice.
Una buona candidata sembra:
\[u_n(x)=\text{sign} \sin (2^n\pi x) =\begin{cases} 1 &\text{, se } \sin (2^n\pi x) >0 \\ 0 &\text{, se } \sin (2^n\pi x)=0 \\ -1 &\text{, se } \sin (2^n \pi x) <0\end{cases}\]
dato che verifica la condizione (i); inoltre, è possibile calcolare esplicitamente quanto vale \(\lVert u_n-u_m\rVert_p\) e quindi...
Provo a parafrasare:
Esibire una successione \(\{u_n\}\) di elementi di uno spazio di Banach \(X\) tali che:
i) \(\lVert u_n\rVert_X =1\) per ogni \(n\)
ii) da \(\{u_n\}\) non si estraggono successioni convergenti in \(\lVert \cdot \rVert_X\)
nei seguenti casi:
A) \(X=C([0,1])\) con la norma del massimo
B) \(X=L^p (0,1)\) con la norma \(\lVert \cdot \rVert_p\).
Il caso (A) è banale: infatti la successione:
\[u_n(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x=0 \\ \text{lineare} &\text{, se } 0
Il caso (B) è lievemente più complesso, ma comunque semplice.
Una buona candidata sembra:
\[u_n(x)=\text{sign} \sin (2^n\pi x) =\begin{cases} 1 &\text{, se } \sin (2^n\pi x) >0 \\ 0 &\text{, se } \sin (2^n\pi x)=0 \\ -1 &\text{, se } \sin (2^n \pi x) <0\end{cases}\]
dato che verifica la condizione (i); inoltre, è possibile calcolare esplicitamente quanto vale \(\lVert u_n-u_m\rVert_p\) e quindi...
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