Sottosuccessioni e massimi
Dimostrare che una successione di reali ha una sottosuccessione strettamente crescente se e solo se l'insieme dei termini della successione ha un sottoinsieme privo di massimo.
Ho provato la condizione sufficiente manon so se è giusta,per la necessaria non riesco neanche a raccapezzarci intuitivamente.
Sia il sottoinsieme della successione allora non avendo massimo o diverge a infinito o si accosta asintoticamente a un sup che chiameremo J.
Se il limite è infinito si possono prendere dei numeri da questo sottoinsieme tali che $a_h>a_k$ se $h>k$ per definizione di limite a più infinito per generalità di h e k la sottosuccessione estratta dal sottoinsieme è strettamente crescente.
Seil limite si avvicina al sup del sottoinsieme preso $\epsilon$ allora definitivamente i punti si avvicineranno a L poiché
$|/a_n-L|<\epsilon| $
e quindi ci saranno sempre dei valori più vicini ad L positivo e sarà possibile dunque estrarre una sottosuccessione strettamente crescente.
Non sono convinto,sarò lieto dei vostri consigli correzioni e formalizzazioni.
Ho provato la condizione sufficiente manon so se è giusta,per la necessaria non riesco neanche a raccapezzarci intuitivamente.
Sia il sottoinsieme della successione allora non avendo massimo o diverge a infinito o si accosta asintoticamente a un sup che chiameremo J.
Se il limite è infinito si possono prendere dei numeri da questo sottoinsieme tali che $a_h>a_k$ se $h>k$ per definizione di limite a più infinito per generalità di h e k la sottosuccessione estratta dal sottoinsieme è strettamente crescente.
Seil limite si avvicina al sup del sottoinsieme preso $\epsilon$ allora definitivamente i punti si avvicineranno a L poiché
$|/a_n-L|<\epsilon| $
e quindi ci saranno sempre dei valori più vicini ad L positivo e sarà possibile dunque estrarre una sottosuccessione strettamente crescente.
Non sono convinto,sarò lieto dei vostri consigli correzioni e formalizzazioni.
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