Sottosuccessione analisi 1
Ho questo problema.
Sia $a_n$ una successione reale dimostrare che esiste una sottosuccessione estratta $(a_n)_k$ tale che:
Esiste limite di $(a_n)_k$ uguale al limite superiore di $a_n$.
Allora non riesco a pensarla, se non a casi.
Il caso banale è se la successione è convergente. Infatti vorrebbe dire che il limite superiore equivale al limite inferiore che sono uguali al limite stesso della successione. E posso trovare una sottosuccessione che abbia quel limite.
Se è limita e non convergente posso usare il teorema di Bolzano-Weierstrass, che mi dice che esiste una sottosuccessione convergente. Ora però come faccio a dire che ne esiste una che abbia quel limite proprio?
Ugualmente se è limitata superiormente dovrei effettuare questa verifica;
Infine se non è limitata superiormente?
Sia $a_n$ una successione reale dimostrare che esiste una sottosuccessione estratta $(a_n)_k$ tale che:
Esiste limite di $(a_n)_k$ uguale al limite superiore di $a_n$.
Allora non riesco a pensarla, se non a casi.
Il caso banale è se la successione è convergente. Infatti vorrebbe dire che il limite superiore equivale al limite inferiore che sono uguali al limite stesso della successione. E posso trovare una sottosuccessione che abbia quel limite.
Se è limita e non convergente posso usare il teorema di Bolzano-Weierstrass, che mi dice che esiste una sottosuccessione convergente. Ora però come faccio a dire che ne esiste una che abbia quel limite proprio?
Ugualmente se è limitata superiormente dovrei effettuare questa verifica;
Infine se non è limitata superiormente?
Risposte
Quella che citi è una proprietà standard di lim sup e lim inf.
Conosci la caratterizzazione in termini di $epsilon$ del lim sup? Se la conosci e ti è chiara quella, allora non dovrebbe essere difficile concludere...
Conosci la caratterizzazione in termini di $epsilon$ del lim sup? Se la conosci e ti è chiara quella, allora non dovrebbe essere difficile concludere...
Hai ragione 
Ora scrivo la dimostrazione e poi edito qua!
Ho trovato questo:
Posso chiamare la successione $S_k = Sup {a_n | n >= k} = Sup_(n >= k)(a_n)$
Questa è una sottosuccessione di $a_n$.
So che è monotona decrescente, e se la successione $a_n$ è limitata superiormente, questa sottosuccessione ammette come limite, proprio il limite superiore di $a_n$, oppure diverge, se $a_n$ non è limitata superiormente per definizione.
Ci sto?
Ora scrivo la dimostrazione e poi edito qua!Ho trovato questo:
Posso chiamare la successione $S_k = Sup {a_n | n >= k} = Sup_(n >= k)(a_n)$
Questa è una sottosuccessione di $a_n$.
So che è monotona decrescente, e se la successione $a_n$ è limitata superiormente, questa sottosuccessione ammette come limite, proprio il limite superiore di $a_n$, oppure diverge, se $a_n$ non è limitata superiormente per definizione.
Ci sto?
Uppo perchè non va bene quella come sottosuccessione, per il solo fatto che potrebbe prendere valori, essendo degli estremi superiori, che non sono nella successione mentre una sottosuccessione deve avere un criterio per cui prende elementi della successione iniziale sicuramente.
Qualcuno che mi dice come fare? >.<
Qualcuno che mi dice come fare? >.<
Scusami, ho avuto un po' da fare in questi giorni.
Ad ogni modo, la strada è quella che ti ho indicato già nell'altro post:
Ad ogni modo, la strada è quella che ti ho indicato già nell'altro post:
"Paolo90":
Conosci la caratterizzazione in termini di $epsilon$ del lim sup? Se la conosci e ti è chiara quella, allora non dovrebbe essere difficile concludere...
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